一、作业

1.计算2，5，10模13的指数.

2.计算3，7，10模19的指数.

3.求模81的原根.

4.设m>1是整数，a是与m互素的整数.假如,那么.

二、答案

1．解：因为(13)=12,所以只需对12的因数d=1,2,3,4,6,12,计算a^d(mod12)

       因为2¹≡2, 2²≡4,2³≡8, 2⁴≡3,2⁶≡-1, 2¹²≡1(mod13)

      所以2模13的指数为12；

      同理可得：5模13的指数为4，10模13的指数为6。

2．解：因为(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算a^d(mod12)

       因为3¹≡3, 3²≡9,3³≡8, 3⁶≡7,3⁹≡-1, 2¹⁸≡1(mod13)

      所以3模19的指数为18；

      同理可得：7模19的指数为3，10模19的指数为18。

3．解：因为(m)=(81)=54=2*3³,所以(m)的素因数为q₁=2,q₂=3,进而

            (m)/q₁=27,   (m)/q₂=18

        这样，只需验证：g²⁷,g¹⁸模m是否同余于1。对2，4，5，6…逐个验算：

        因为2²⁷1(mod81)  2¹⁸1(mod81)   根据5.2定理8得

       所以2是模81的原根

4．证明：因为（a, m）=1, 故由ord_m(a)=st知：a^st≡1(mod m)  即(a^s)^t≡1(mod m)

         不妨令ord_m(a^s)=r   则a^sr≡1(mod m)  所以st|sr

由(a^s)^t≡1(mod m)得r|t 即t＝k*r   kN≥1  r≤t  所以sr≤st

所以sr=st   所以r=t

所以ord_m(a^s)=t