一、作业

1.求满足方程E：=-3x+1(mod 7)的所有点.

2.求满足方程E：=+x+1(mod 17)的所有点.

3.设p是奇素数.证明：

（i）模p的所有二次剩余的乘积对模p的剩余是；

（ii）模p的所有二次非剩余的乘积对模p的剩余是；

（iii）模p的所有二次剩余之和对模p的剩余是：1 ，当p=3；0，当p＞3.

（iv）所有二次非剩余之和对模p的剩余是多少？

二、作业答案

1．解：对x=0,1,2,3,4,5,6时，分别求出y

      x=0,y²≡1(mod7),y≡1,6(mod7)

      x=4,y²≡4(mod7),y≡2,5(mod7)

      当x=1,2,3,5,6时均无解

2．解：对x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16时，分别求出y

      x=0,y²≡1(mod17),y≡1,16(mod17)

      x=1,y²≡3(mod17),无解

      x=2,y²≡11(mod17),无解

      x=3,y²≡14(mod17),无解

      x=4,y²≡1(mod17),y≡1,16(mod17)

      x=5,y²≡12(mod17),无解

      x=6,y²≡2(mod17),y≡6,11(mod17)

      x=7,y²≡11(mod17),无解

      x=8,y²≡11(mod17),无解

      x=9,y²≡8(mod17),y≡5,12(mod17)

      x=10,y²≡8(mod17),y≡5,12(mod17)

      x=11,y²≡0(mod17),y≡0(mod17)

      x=12,y²≡7(mod17),无解

      x=13,y²≡1(mod17),y≡1,16(mod17)

      x=14,y²≡5(mod17),无解

      x=15,y²≡8(mod17),y≡5,12(mod17)

       x=16,y²≡16(mod17),y≡4,13(mod17)

3．证明：（1）因为p为其素数，模p的所有二次剩余个数为(p-1)/2个，

设为a₁, a₂, a₃, …a_(p-1)/2

则a₁*a₂*a₃…a_(p-1)/2≡1²*2²*3²…((p-1)/2)²(mod p)

≡1*2*3…((p-1)/2)*(-(p-1))*(-(p-2))*…(-(p-(p-1)/2))(modp)

≡1*2*3…((p-1)/2)*(p-(p-1)/2)…*(p-2)*(p-1)(-1)^(p-1)/2(modp)

≡(p-1)!*(-1)^(p-1)/2(modp)

≡(-1)*(-1)^(p-1)/2(modp)    （2.4定理3）

≡(-1)^(p+1)/2(mod p)

所以模p的所有二次剩余乘积模p的剩余为(-1)^(p+1)/2得证。

         （2）1，2，3,…p-1为p的一个完全剩余系

1*2*2…*(p-1)≡-1(mod p)≡(-1)^(p+1)/2(-1)^(p-1)/2(modp)

因为模p的所有二次剩余乘积模p的剩余为(-1)^(p+1)/2

所以模p的所有非二次剩余乘积模p的剩余为(-1)^(p－1)/2

（3）当p=3时，其二次剩余只有1，所以p=3时，模p的所有二次剩余之和模p 的剩余为1

   当p>3时，由（1）得a₁+a₂+a₃…+a_(p-1)/2≡p(p-1)(p+1)/24(mod p)

         因为p为奇素数，所以p只能取3k-1或3k+1形式，代入上式得0

         所以当p>3时，模p的所有二次剩余之和模p的剩余为0。

（4）因为模p的所有二次非剩余之和与所有二次剩余之和的和可以被p整除

    所以由(3)得，当p=3时，模p的所有二次非剩余之和模p的剩余为-1;

当p>3时，模p的所有二次非剩余之和模p的剩余为0。