一、作业

      1.求出一次同余方程的所有解.

    （1）3x≡2(mod 7)         (2)6x≡3(mod 9)

（3）17x≡14（mod 21）   (4)15x≡9(mod 25)

2.求出下列一次同余方程的所有解.

    （1）127x≡833(mod 1012)   (2)987x≡610(mod2668)

3.证明：同余方程组

的解是：

x≡++…+ (modm)

这里两两互素，m=…,=m/,j=1,2,…,k.

4.将同余式方程化为同余式组来求解.

（i）   23X=1(mod 140)  

  (ii)     17x=229(mod 1540) 

二、作业答案

1．（1）解：因为（3，7）=1 | 2 故原同余式有解

           又3x≡1（mod7）  所以 特解x₀^`≡5（mod7）

         同余式3x≡2（mod7）的一个特解x₀≡2* x₀^`=2*5≡3（mod7）

         所有解为：x≡3（mod7）

  （3）解：因为（17，21）=1 | 14 故原同余式有解

           又17x≡1（mod21）  所以 特解x₀^`≡5（mod21）

         同余式17x≡14（mod21）的一个特解x₀≡14* x₀^`=14*5≡7（mod21）

         所有解为：x≡7（mod21）

2．（1）解：因为（127，1012）=1 | 833 故原同余式有解

           又127x≡1（mod1012）  所以 特解x₀^`≡255（mod1012）

         同余式127x≡833（mod1012）的一个特解x₀≡833* x₀^`=833*255≡907（mod1012）

         所有解为：x≡907（mod1012）

3．证明：由中国剩余定理知方程解为：

           x≡a₁M₁M₁`+a<sub>2</sub>M<sub>2</sub>M<sub>2</sub>`+……+ a_kM_kM_k`（mod m）

           因为m_i两两互素，又中国剩余定理知：M_iM_i`≡1（mod m_i）

          又M_i=m/m_i  所以（m，M_i）≡1（mod m_i）

          所以M_iM_i`=M_i^(mi)≡（mod m_i）

          代入方程解为x≡a₁ M₁^(m1)+ a₂ M₂^(m2)+……+ a_k M_k^(mk)(mod m) 得证。

4．（1）解：等价同余式组为：

            23x≡1（mod4）

            23x≡1（mod5）

            23x≡1（mod7）

         所以 x≡3（mod4）    x≡2（mod5）        x≡4（mod7）

         所以x≡3*35*3 + 2*28*2 + 4*20*6≡67（mod140）

   （2）解：等价同余式组为：

            17x≡1（mod4）

            17x≡1（mod5）

                    17x≡1（mod7）

            17x≡1（mod11）

         所以 x≡1（mod4）    x≡2（mod5）        x≡-3（mod7）    x≡7（mod11）

         所以x≡1*385*1 + 2*308*2 +(-3)*220*5 + 7*140*7 ≡557（mod1540）