一、作业

1.2003年5月9日是星期五，问第天是星期几?

2.证明：如果≡(mod m),1≤i≤k,则

（i）+…+≡++(mod m);

(ii)…≡…(mod m).

3.设p是素数，证明：如果≡(mod p),则p∣a-b或p∣a+b.

4.设n=pq,其中p,q是素数.证明：

如果(mod n),na-b,na+b,则(n,a-b)＞1,(n,a+b)＞1.

二、作业答案

1．解：2¹≡2(mod7),  2²≡4(mod7), 2³≡1(mod7)

       又20080509=6693503*3

       所以2^20080509=(2³)6693503≡1(mod7)

      故2^20080509是星期六。

2．证明：（i）因为a_i≡ b_i (modm),1≤i≤k          所以a_i=b_i+k_im

             又a₁+a₂+… +a_k=∑a_i=∑(b_i+k_im)=∑b_i+m*∑k_i

             所以有∑a_i≡∑b_i (mod m)

             即a₁+a₂+… +a_k=b₁+b₂+… +b_k (mod m)

      （ii）因为a_i≡ b_i (mod m),1≤i≤k   所以a_i(mod m)=b_i (mod m)

             所以（a₁a₂…a_k）mod m≡[(a₁modm)( a₂mod m)…(a_kmod m)]mod m

                                ≡[(b₁mod m)(b₂mod m)…(b_k modm)]mod m

                                ≡（b₁b₂…b_k）mod m

             所以 a₁a₂…a_k≡a₁a₂…a_k(mod m)

3．证明：如果a²≡b²(mod p)    则a²= b²+kp  , kZ  

 即kp=a²-b²=(a+b)(a-b)        所以p|(a+b)(a-b)  

         又p为素数，根据1.4定理2知p|a+b或p|a-b 得证。

4．证明：如果a²≡b²(mod n)    则a²= b²+kn  , kZ  

即kn=a²-b²=(a+b)(a-b)        所以n|(a+b)(a-b) 

由n=pq知kpq=a²-b²=(a+b)(a-b)

因为n!|a-b, n!|a+b，所以p,q不能同时为a-b或a+b的素因数。

不妨设p|a-b, q|a+b ,则q!|a-b, p!|a+b  即(q, a-b)=1,(p,a+b)=1

因此(n, a-b)=(pq, a-b)=(p, a-b)=p>1

    (n, a+b)=(pq, a+b)=(q,a+b)=q>1

故原命题成立。