一、作业

1.证明：若2|n，5|n，7|n，那么70|n.

2.证明：如果a是整数，则a³-a被3整除.

3.证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1.

4.证明：任意三个连续整数的乘积都被6整除.

5.证明：对于任给的正整数k，必有k个连续正整数都是合数.

6.证明：191，547都是素数，737，747都是合数.

7.证明：若2|n，3|n，11|n，则60|n.

二、作业答案

1．证明：因为2|n     所以n=2k , kZ

             5|n  所以5|2k ， 又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k₁  ，k₁Z

             7|n  所以7|2*5k₁ ,又（7，10）=1，所以7|k₁即k₁=7 k₂，k₂Z

         所以n=2*5*7 k₂  即n=70 k₂,  k₂Z

         因此70|n

2．证明：因为a³-a=(a-1)a(a+1)

         当a=3k，kZ   3|a    则3|a³-a

         当a=3k-1，kZ 3|a+1  则3|a³-a

         当a=3k+1，kZ 3|a-1  则3|a³-a

         所以a³-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表示为2 k₀+1， k₀Z

         （2 k₀+1）²＝4 k₀²+4 k₀+1=4 k₀ (k₀+1)+1

         由于k₀与k₀+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k₀ (k₀+1)=2k

         所以（2 k₀+1）²=8k+1    得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1  则(a-1)a(a+1)=a³-a

         由第二题结论3|（a³-a）    即3|(a-1)a(a+1)

         又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)

         又（3，2）=1   所以6|(a-1)a(a+1)  得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：

         (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……,(k+1)！+(k+1), kZ

         对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1)

         所以i|(k+1)！+i  即(k+1)！+i为合数

         所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为191^1/2＜14  ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13

         经验算都不能整除191   所以191为素数。

         因为547^1/2＜24  ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23

         经验算都不能整除547   所以547为素数。

         由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。

7.  答案见参考书