大学数学竞赛

张祖锦

目录

  • 1 2022年第14届cmc培训
    • 1.1 数列极限(讲完有视频)
    • 1.2 函数极限(讲完有视频)
    • 1.3 微分(讲完有视频)
    • 1.4 微分法与不等式
    • 1.5 不定积分
    • 1.6 定积分
    • 1.7 积分与极限
    • 1.8 积分法与不等式
    • 1.9 广义积分
    • 1.10 说明
  • 2 课程介绍
    • 2.1 103页历届cmc试题pdf下载
  • 3 课程提纲
    • 3.1 数列极限
    • 3.2 函数极限
    • 3.3 连续
    • 3.4 微分
    • 3.5 微分法与不等式
    • 3.6 不定积分
    • 3.7 定积分
    • 3.8 积分与极限
    • 3.9 积分法与不等式
    • 3.10 广义积分
    • 3.11 数项级数
    • 3.12 函数项级数
    • 3.13 幂级数
    • 3.14 Fourier级数
    • 3.15 多元函数微分学
    • 3.16 重积分
    • 3.17 曲线曲面积分
    • 3.18 多项式
    • 3.19 行列式
    • 3.20 矩阵
    • 3.21 二次型
    • 3.22 线性空间与线性变换
    • 3.23 解析几何
    • 3.24 常微分方程
  • 4 考研真题
    • 4.1 安徽大学
    • 4.2 北京工业大学
    • 4.3 北京交通大学
    • 4.4 北京科技大学
    • 4.5 北京邮电大学
    • 4.6 北京邮电大学
  • 5 大学生数学竞赛试题讲解
    • 5.1 第11届中国大学生数学竞赛非数学类决赛试题视频讲解
    • 5.2 第11届中国大学生数学竞赛数学类1-2年级决赛试题视频讲解
定积分

定积分

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1、 6、 (10 分) 设抛物线 过原点, 当 时, , 又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 . 试确定 , 使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 最小. (第13届非数学类预赛)

2、 7、 (本题共 10 分) 设 在区间 上 Riemann 可积, . 求证: 对任何 , 存在只取值 和 的分段 (段数有限) 常值函数 , 使得 ,

(第13届非数学类预赛)

3、 4、 (本题 15 分) 在平面上, 有一条从点 向右的射线, 其线密度为 . 在点 (其中 ) 有一质量为 的质点. 求射线对该质点的引力. (第13届非数学类预赛)

4、 6、 (本题 15 分) 设 可微, 其中 为实数集. 已知 , 且对任意 有 . 求证: 对任意正整数 , 有

(第13届非数学类预赛)

5、 (4)、 过曲线 () 上的点 作切线, 使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积为 , 求点 的坐标. (第13届非数学类预赛)

6、 2、 (12 分) 计算定积分

(第13届非数学类预赛)

7、 2、 (本题满分 12 分) 设 为正整数, 计算

(第13届非数学类预赛)

8、 6、 (本题 20 分) 设 是 上有下界或者有上界的连续函数且存在正数 使得

为常数. 求证: 为常数. (第13届非数学类预赛)

9、 5、 (满分 14 分) 设函数 在区间 上连续, 且

证明在 内存在不同的两点 , 使得

(第13届非数学类预赛)

10、  1、 填空题 (本题共 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分). (1)、 已知可导函数 满足

则 . (第09届非数学类预赛)

11、 (3)、 定积分

(第09届非数学类预赛)

12、 6、 (本题满分 12 分) 证明

等于 的所有因子 (包括 和 本身) 之和, 其中 表示不超过 的最大整数, 并计算 . (第09届非数学类预赛)

13、 (2)、 积分 . (第09届非数学类预赛)

14、 2、 (本题 14 分) 设

证明: 在区间 内, 有且仅有两个实根. (第09届非数学类预赛)