大学数学竞赛

张祖锦

目录

  • 1 2022年第14届cmc培训
    • 1.1 数列极限(讲完有视频)
    • 1.2 函数极限(讲完有视频)
    • 1.3 微分(讲完有视频)
    • 1.4 微分法与不等式
    • 1.5 不定积分
    • 1.6 定积分
    • 1.7 积分与极限
    • 1.8 积分法与不等式
    • 1.9 广义积分
    • 1.10 说明
  • 2 课程介绍
    • 2.1 103页历届cmc试题pdf下载
  • 3 课程提纲
    • 3.1 数列极限
    • 3.2 函数极限
    • 3.3 连续
    • 3.4 微分
    • 3.5 微分法与不等式
    • 3.6 不定积分
    • 3.7 定积分
    • 3.8 积分与极限
    • 3.9 积分法与不等式
    • 3.10 广义积分
    • 3.11 数项级数
    • 3.12 函数项级数
    • 3.13 幂级数
    • 3.14 Fourier级数
    • 3.15 多元函数微分学
    • 3.16 重积分
    • 3.17 曲线曲面积分
    • 3.18 多项式
    • 3.19 行列式
    • 3.20 矩阵
    • 3.21 二次型
    • 3.22 线性空间与线性变换
    • 3.23 解析几何
    • 3.24 常微分方程
  • 4 考研真题
    • 4.1 安徽大学
    • 4.2 北京工业大学
    • 4.3 北京交通大学
    • 4.4 北京科技大学
    • 4.5 北京邮电大学
    • 4.6 北京邮电大学
  • 5 大学生数学竞赛试题讲解
    • 5.1 第11届中国大学生数学竞赛非数学类决赛试题视频讲解
    • 5.2 第11届中国大学生数学竞赛数学类1-2年级决赛试题视频讲解
微分(讲完有视频)

微分

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1、 (2)、 设 是连续函数, 且满足

则 . (第01届非数学类预赛试题)

2、 (4)、 设函数 由方程 确定, 其中 具有二阶导数, 且 , 则

(第01届非数学类预赛试题)

3、 3、 (15 分) 设函数 连续, , 且 , 为常数, 求 并讨论 在 处的连续性. (第01届非数学类预赛试题)

4、 7、 (15 分) 假设函数 在 上连续, 在 内二阶可导, 过点 , 与点 的直线与曲线 相交于点 , 其中 . 证明: 在 内至少存在一点 , 使得 . (第01届数学类预赛试题)

5、 2、 (本题共 15 分) 设函数 在 上具有二阶导数, 并且

且存在一点 , 使得 . 证明: 方程 在 恰有两个实根. (第02届非数学类预赛试题)

6、 3、 (本题共 15 分) 设函数 由参数方程 所确定. 且

其中 具有二阶导数, 曲线 与

在 处相切. 求函数 . (第02届非数学类预赛试题)

7、 3、 (本题共 10 分) 设 是凸区域, 函数 是凸函数. 证明或否定: 在 上连续. 注: 函数 为凸函数的定义是 以及 , 成立

(第02届数学类预赛试题)

8、 3、 (本题共 15 分) 设函数 在闭区间 上具有连续的三阶导数, 且

求证: 在开区间 内至少存在一点 , 使得 . (第03届非数学类预赛试题)

9、 3、 (本题 10 分) 求方程 的近似解, 精确到 . (第04届非数学类预赛试题)

10、 4、 (本题 15 分) 设 , 可微. 求证: 存在趋于 的正数列 , 使得 . (第05届数学类预赛试题)

11、 (3)、 设函数 由方程 所确定, 求 . (第06届非数学类预赛试题)

12、 4、 (本题 15 分) 设 在 上有二阶导函数, 都大于零. 假设存在正数 使得 对一切 成立. (1)、 求证: ; (2)、 求证: 存在常数 使得 . (3)、 求使上面不等式成立的最小常数 . (第06届数学类预赛试题)

13、 3、 (本题满分 12 分) 设 在 内二次可导, 且存在常数 , 使得对于 , 有

则 在 内无穷次可导. (第07届非数学类预赛试题)

14、 (4)、 设 , 则 . (第08届非数学类预赛试题)

15、 4、 (本题 15 分) 设 在 上连续可微, 在 处有任意阶导数, , 且存在常数 使得 . 证明: (1)、 ; (2)、 在 上成立 . (第10届数学类预赛试题)

16、 3、 (本题满分 14 分) 设 在 上可微, , 且存在常数 , 使得

在 上成立, 试证明在 上有 . (第11届非数学类预赛试题)

17、 2、 (本题 15 分) 设 , 在 上非负, 有二阶导函数, , 且在 上不恒为零. 求证: 存在 使得

(第11届数学A类预赛试题)

18、 6、 (本题 20 分) 设 . (1)、 证明 是 上的凸函数. 进一步证明当 时成立

(2)、 设 , 试确定集合

(第11届数学A类预赛试题)

19、 (2)、 设函数 , 则 . (第12届非数学类预赛试题)

20、 3、 (本题满分 10 分) 设 在 上连续, 在 内可导, 且 , . 证明: (1)、 存在 , 使得 ; (2)、 存在 , 且 , 使得

(第12届非数学类预赛试题)

21、 6、 (本题 20 分) 设 . 证明函数 在 内为严格凸的, 并且对任意 , 存在 使得

(称 内的函数 为严格凸的, 如果对任何 , 以及 成立

(第13届数学B类预赛试题)

本课程视频见 https://www.cctalk.com/m/group/90521160