大学数学竞赛

张祖锦

目录

  • 1 2022年第14届cmc培训
    • 1.1 数列极限(讲完有视频)
    • 1.2 函数极限(讲完有视频)
    • 1.3 微分(讲完有视频)
    • 1.4 微分法与不等式
    • 1.5 不定积分
    • 1.6 定积分
    • 1.7 积分与极限
    • 1.8 积分法与不等式
    • 1.9 广义积分
    • 1.10 说明
  • 2 课程介绍
    • 2.1 103页历届cmc试题pdf下载
  • 3 课程提纲
    • 3.1 数列极限
    • 3.2 函数极限
    • 3.3 连续
    • 3.4 微分
    • 3.5 微分法与不等式
    • 3.6 不定积分
    • 3.7 定积分
    • 3.8 积分与极限
    • 3.9 积分法与不等式
    • 3.10 广义积分
    • 3.11 数项级数
    • 3.12 函数项级数
    • 3.13 幂级数
    • 3.14 Fourier级数
    • 3.15 多元函数微分学
    • 3.16 重积分
    • 3.17 曲线曲面积分
    • 3.18 多项式
    • 3.19 行列式
    • 3.20 矩阵
    • 3.21 二次型
    • 3.22 线性空间与线性变换
    • 3.23 解析几何
    • 3.24 常微分方程
  • 4 考研真题
    • 4.1 安徽大学
    • 4.2 北京工业大学
    • 4.3 北京交通大学
    • 4.4 北京科技大学
    • 4.5 北京邮电大学
    • 4.6 北京邮电大学
  • 5 大学生数学竞赛试题讲解
    • 5.1 第11届中国大学生数学竞赛非数学类决赛试题视频讲解
    • 5.2 第11届中国大学生数学竞赛数学类1-2年级决赛试题视频讲解
解析几何

解析几何

(5)、 求直线  与直线  

的距离.[第02届非数学类]

(2)、 求通过直线  的两个相互垂直的平面 和 , 使其中一个平面过点 ; [第04届非数学类]

2、 (本题满分 12 分) 设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面, 求其方程.[第07届非数学类]

1、 填空题 (本题 30 分, 每小题 6 分).

(1)、 过单叶双曲面 与球面 的交线且与直线  垂直的平面方程为 . [第08届非数学类]

(2)、 设平面过原点和点 , 且与平面 垂直, 则此平面方程为 . [第09届非数学类]

(3)、 设平面曲线 的方程为  

且通过五个点 和 , 则 上任意两点之间的直线距离最大值为 . [第11届非数学类]

1、 (15 分) 求经过三平行直线  

的圆柱面的方程.[第01届数学类]

5、 (本题共 15 分) 已知二次曲面 (非退化) 过以下九点:  

问 是哪一类曲面?[第02届数学类]

1、 (本题 15 分) 已知四点  

试求过这四个点的球面方程.[第03届数学类]

1、 (本题 15 分) 设 为椭圆抛物面 . 从原点作 的切锥面. 求切锥面方程.[第04届数学类]

2、 (本题 15 分) 设 为抛物线, 是与焦点位于抛物线同侧的一点. 共 的直线 与 围成的有界区域的面积记为 . 证明: 取最小值当且仅当 恰为 被 所截出的线段的中点.[第04届数学类]

1、 (本题 15 分) 平面 上两个半径为 的圆 和 外切于 点, 将圆 沿 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, 上的 点也随 的运动而运动. 记 为 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线. 现设 为以 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 , 记  

为圆 的反演变换, 它将  映成射线 上的点 , 且满足 . 求证: 为抛物线.[第05届数学类]

1、 (本题 15 分) 已知空间的两条直线  

(1)、 证明 和 异面; (2)、 求 和 的公垂线的标准方程; (3)、 求连接 上的任一点和 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程.[第06届数学类]

1、 (本题 15 分) 设 和 是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 过坐标为 的点, 以单位向量 为直线方向; 直线 过坐标为 的点, 以单位向量 为直线方向.

(1)、 证明: 存在唯一点 和 使得两点连线 同时垂直于 和 . (2)、 求 点和 点坐标 (用 表示).[第07届数学类]

1、 (本题 15 分) 设 是空间中的一个椭球面. 设方向为常向量 的一束平行光线照射 , 其中的部分光线与 相切, 它们的切点在 上形成一条曲线 . 证明: 落在一张过椭圆中心的平面上.[第08届数学类]

1、 (本题 15 分) 在空间直角坐标系中, 设单叶双曲面 的方程为 . 设 为空间中的平面, 它交 于一抛物线 . 求该平面 的法线与 - 轴的夹角.[第09届数学类]

1、 (本题 15 分) 在空间直角坐标系下, 设马鞍面 的方程为 . 设 为平面 , 其中 为给定常数. 求马鞍面 上点 的坐标, 使通过 且落在马鞍面 上的直线均平行于平面 .[第10届数学类]

1、 (15 分) 已知椭球面  

的外切柱面 ( 或 平行于已知直线  

试求与 交于一个圆周的平面的法方向. 注: 本题中的外切柱面指的的每一条直母线均与已知椭球面相切的柱面.[第12届数学类B卷]

1、 (本题 15 分) 设 是球面 的北极点.  

为 平面上不同的三点. 设连接 与 的三直线依次交球面 于点 与 .

(1)、 求连接 与 两点的直线方程. (2)、 求点 与 的坐标. (3)、 给定点  

求四面体 的体积.[第12届数学类A卷]

(4)、 设 , 则  

[第01届数学类]

6、 已知两直线的方程  

(1)、 问: 参数 满足什么条件时, 与 是异面直线? (2)、 当 与 不重合时, 求 绕 旋转所生成的旋转面 的方程, 并指出曲面 的类型.[第01届数学类]

1、 (本题 15 分) 求出过原点且和椭球面 的交线为一个圆周的所有平面.[第02届数学类]

1、 (本题 15 分) 设有空间中五点:  

试求过点 且与 所在平面 平行而与直线 垂直的直线方程.[第03届数学类]

1、 (本题 15 分) 设 为正常数, 直线 与双曲线 所围成的有限部分的面积为 . 证明:

(1)、 上述 被双曲线 所截线段的中点的轨迹为双曲线; (2)、 总是 (1) 中轨迹曲线的切线.[第04届数学类]

1、 (本题 15 分) 设 为 中的抛物面 . 为 外一固定点, 满足 . 过 作 的所有切线. 证明: 这些切线的切点落在同一张平面上.[第05届数学类]

2、 (本题 15 分) 设空间中定点 到一定直线 的距离为 , 一族球面中的每个球面都过点 , 且截直线 得到的弦长都是定值, . 求该球面族的球心的轨迹.[第06届数学类]

2、 (本题 15 分) 在空间直角坐标系中, 设 为椭圆柱面 , 是空间中的平面, 它与 的交集是一个圆. 求所有这样平面 的法向量.[第07届数学类]

2、 (本题 15 分) 在空间直角坐标系中设旋转抛物面 的方程为 . 设 为空间中的平面, 它交抛物面 于曲线 . 问: 为何种类型的曲线? 证明你的结论.[第08届数学类]

2、 (本题 15 分) 在空间直角坐标系下, 设有椭球面  

及 外部一点 , 过 点且与 相切的所有直线构成锥面 . 证明: 存在平面 , 使得交线 ; 同时求出平面 的方程.[第09届数学类]

2、 (本题 15 分) 给定空间直角坐标系中的两条直线: 为 轴, 过 及 两点. 动直线 分别于 共面, 且与平面 平行.

(1)、 求动直线 全体构成的 曲面 的方程; (2)、 确定 是什么曲面.[第10届数学类]

1、 (本题 15 分) 空间中有两个圆球面 和 , 包含在 所围球体的内部, 两球面之间的闭区域为 . 设 是含在 中的一个圆球, 它与球面 和 均相切. 问:

(1)、 (4 分) 的球心轨迹构成的曲面 是何种曲面; (2)、 (2 分) 的球心和 的球心是曲面 的何种点. 证明你的论断.[第11届数学类A]

1、 (本题 15 分) 设 和 是空间中的两条不垂直的异面直线, 点 是它们公垂线段的中点. 点 和 分别在 和 上滑动, 使得 . 证明直线 的轨迹是单叶双曲面.[第11届数学类B]

(3)、 在三维空间的直角坐标系中, 方程  

表示的二次曲面类型是 . [第11届数学类]

2、 (本题 15 分) 考虑单叶双曲面 .

(1)、 证明: 上同一族直母线中任意两条不同的直母线是异面直线; (2)、 设 上同一族直母线上的两条直母线分别经过 与 两点. 求这两条直母线的公垂线方程以及这两条直母线之间的距离.[第11届数学类]

2、 (本题 15 分) 给定 平面上的圆 .

(1)、 求 绕 轴旋转所得的环面 的隐式方程. (2)、 设 , 以 为顶点的两个锥面 和 的半顶角之差为  , 且均与环面 相切 (每条母线都与环面相切), 求 和 的隐式方程.[第12届数学类]