线性空间与线性变换

3、 (15 分) 假设 是复数域 上 维线性空间 ( ), 是 上的线性变换. 如果 , 证明: 的特征值都是 , 且 有公共特征向量.[第01届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 是数域 上的 维列空间, 是一个线性变换. 若对 上的任何 阶方阵 ,  

证明: , 其中 是 中某个数, 表示 上的恒等变换.[第03届数学类]

6、 (本题 25 分) 设  为 阶实方阵全体,  为 元素为 , 其余元素为 的 阶方阵, . 记 表示秩为 的实方阵全体, ; 并让  为可乘映照, 即满足  

证明:

(1)、 对 , 有 . (2)、 若 , 且存在 的矩阵 使得 , 则必存在可逆方阵 使得  

[第05届数学类]

4、 (20 分) 设 为 维复向量空间 的一个线性变换, 表示恒等变换. 证明以下两条等价:

(1)、 ; (2)、 存在 的 个特征向量:  , 这 个向量中任何 个向量均线性无关.[第12届数学类B卷]

8、 设 是复数域 上的 维线性空间, 是非零的线性函数, 且线性无关. 证明: 任意的 都可表为 , 使得  

[第01届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 , 定义线性变换  

证明: 当 可对角化时, 也可对角化. 这里 是复数域 上 阶方阵组成的线性空间.[第02届数学类]

6、 (本题 20 分) 设 是非零线性映射, 满足  

这里 是实数域 上 阶方阵组成的线性空间. 在 上定义双线性型  

如下: .

(1)、 证明 是非退化的, 即若 , 则 . (2)、 设  是 的一组基,  是相应的对偶基, 即  

证明 是数量矩阵. [第02届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 阶实方阵  

有 个线性无关的特征向量,  均不为 . 记  

证明: 是实数域 上的向量空间, 且  为其一组基, 其中 为 阶单位阵.[第05届数学类]

4、 (本题 15 分) 设  是 维实线性空间 的一组基, 令  

证明:

(1)、 对 ,  

都构成 的一组基; (2)、 , 在 (1) 中点 组基中, 闭存在一组基使得 在此基下的坐标分量均非负; (3)、 若  

且 互不相同, 则在 (1) 中的 组基中, 满足 (2) 中非负坐标表示的基是唯一的.[第11届数学类B]

3、 (本题 15 分) 设 是有限维欧氏空间, 是 的非平凡子空间且 . 设 分别是 到 的正交投影, , 用 表示线性变换 的行列式. 证明: 且 的充要条件是 与 正交.[第11届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 阶复方阵  均相似于对角阵, 表示复 维列向量空间. 证明:

(1)、 . 这里  

(2)、 若对所有的 皆有 , 则  中至少有 个矩阵为零矩阵.[第12届数学类]