矩阵

(4)、 设矩阵  , 其中 为常数, 矩阵 满足关系式 , 其中 是单位矩阵且 . 若秩 , 试求常数 的值.[第05届非数学类]

6、 (12 分) 设 是二个 阶正定矩阵. 求证 正定的充要条件是 .[第05届非数学类]

(3)、 设矩阵  , 则 . [第06届非数学类]

3、 (本题满分 14 分) 设 均为 阶方阵, 其中 可逆. 证明: 存在可逆矩阵 使得  

成立的充要条件是  和  相似.[第06届非数学类]

(4)、 设 是 阶方阵 的特征值, 为多项式, 则矩阵 的行列式的值为 . [第07届非数学类]

4、 (本题满分 14 分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 是 矩阵. 证明:  

其中 表示矩阵 的秩.[第07届非数学类]

(3)、 已知 为 阶可逆反对称矩阵, 为 元列向量, 设  

则 . [第08届非数学类]

5、 (本题 14 分) 设 阶方阵 满足 . 证明: 若存在正整数 , 使 ( 为零矩阵), 则行列式 .[第08届非数学类]

6、 设 是 阶幂零矩阵, 即满足 . 证明: 若 的秩为 , 且  , 则存在 阶可逆矩阵 , 使得  

其中 为 阶单位矩阵.[第10届非数学类]

5、 (12 分) 设  为空间 中半径不为零的 个球, 为 阶方阵, 其 元  为求 与 相交部分的体积. 证明: 行列式 , 其中 为单位矩阵.[第11届非数学类]

(4)、 设矩阵 的伴随矩阵  , 且 , , 其中 为单位矩阵, 则 . [第12届非数学类]

5、 (12 分) 设 是 阶实对称矩阵, 证明:

(1)、 存在实对称矩阵 , 使得 , 且 ; (2)、 存在一个多项式 , 使得上述矩阵 ; (3)、 上述矩阵 是唯一的.[第12届非数学类]

2、 (20 分) 设  是 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域 上的线性空间,  

(1)、 假设  

若 , 证明:  

(2)、 求  的子空间  

的维数.[第01届数学类]

2、 (本题共 15 分) 设  

证明 无解, 这里 为三阶未知复方阵.[第02届数学类]

6、 (本题 20 分) 设 为 实矩阵 (未必对称), 对任一 维实向量  

(这里 表示 的转置), 且存在 维实向量 使得 . 同时对任意 维实向量 和 , 当 是有  

证明: 对任意 维实向量 , 都有 .[第02届数学类]

6、 (本题 20 分) 设 是数域 上的 阶方阵. 证明: 相似于  , 其中 是可逆矩阵, 是幂零矩阵, 即存在 使得 .[第03届数学类]

4、 (本题 10 分) 设 均为实 阶正定矩阵,  

其中 为未定元, 表示 的行列式. 若 是 的根, 证明: 的实部为负数.[第04届数学类]

7、 (本题 25 分) 已知实矩阵  

证明:

(1)、 矩阵方程 有解但 无解的充要条件是  (2)、 相似于 的充要条件是  (3)、 合同于 的充要条件是  [第04届数学类]

5、 (本题 20 分) 设 为给定的正整数. 证明: 对任何的正整数 , 存在 阶方阵 使得  

[第06届数学类]

2、 (本题 20 分) 为 阶复方阵, 它满足关于迹的关系式: , . 求 的行列式.[第07届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 为 阶实方阵, 其 个特征值皆为偶数. 试证明关于 的矩阵方程  

只有零解.[第07届数学类]

2、 (本题 15 分) 设 为奇数, 为两个实 阶方阵, 且 . 记 的特征值集合为 , 的特征值集合为 , 其中 分别表示 和 的 Jordan 标准形. 求证: .[第08届数学类]

3、 证明题 (15 分) 设  为 个各不相同的可逆 阶复方阵构成的集合. 若该集合关于矩阵乘法封闭 (即, , 有 ), 证明:  当且仅当  , 其中 表示 的迹.[第09届数学类]

4、 (本题 20 分) 给定非零实数 及实 阶反对称矩阵 (即, 的转置 等于 ), 记矩阵有序对集合 为  

其中 为 阶单位阵,  为所有实 阶方阵构成的集合. 证明: 任取 中两元: 和 , 必有 .[第09届数学类]

3、 (本题 20 分) 元素皆为整数的矩阵称为整矩阵. 设 阶方阵 皆为整矩阵.

(1)、 证明以下两条等价: (1-1)、 可逆且  仍为整矩阵; (1-2)、 的行列式的绝对值为 . (2)、 若又知  

皆可逆, 且它们的逆矩阵皆仍为整矩阵. 证明: 可逆.[第10届数学类]

3、 (15 分) 设 为 阶复方阵, 为 的特征多项式.又设 为 次复系数多项式, . 证明: 可逆当且仅当 与 互素.[第12届数学类B卷]

3、 (本题 15 分) 设 均为 阶正交矩阵, 齐次线性方程组 (  ) 的解空间维数为 . 问: 矩阵 是否可能相似? 证明你的结论.[第12届数学类A卷]

7、 设 均为 阶半正定实对称矩阵, 且满足  

证明: 存在实可逆矩阵 使得 和 均为对角阵.[第01届数学类]

5、 (本题 15 分) 设 分别是 和 实矩阵, 若  

求 .[第03届数学类]

6、 (本题 20 分) 设  是数域 上两个矩阵集合, 称它们在 上相似: 如果存在 上与 无关的可逆矩阵 使得  

证明: 有理数域 上两个矩阵集合  , 如果它们在实数域 上相似, 则它们在有理数域 上也相似.[第03届数学类]

5、 (本题 20 分) 设  为实对称矩阵, 为 的伴随矩阵, 记  

若 , 的特征值的和为 , 且 为 的一个解. 试给出一正交变换  

使得 化为标准型.[第04届数学类]

(4)、 设 为 阶实对称矩阵 , , 的每行元素之和均为 . 设 为 的全部非零特征值. 用  表示 的元素  所对应的代数余子式, 则有 .[第06届数学类]

3、 (本题 15 分) 设  

其中 表复数域. 试证: , 的 Jordan 标准型 仍属于 ; 进一步还存在可逆的矩阵 使得 .[第06届数学类]

(4)、 若实向量 的三个分量 满足  

其中 为 阶单位方阵, 则 .[第07届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 为 阶实对称矩阵. 证明: .[第07届数学类]

(4)、 记两特征值为 的 阶实对称矩阵全体为 . ,  表示 的 位置元素. 则集合  的最小元 .[第08届数学类]

3、 证明题 (15 分) 设 阶方阵 满足:  

证明: 与 相似.[第08届数学类]

1、 (本题 20 分, 每小题各 5 分) 填空题.

(1)、 设实方阵  

其中 是与 通解的单位方阵, 则 . [第09届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 均为 阶复方阵, 且满足  

(1)、 证明: 是幂零方阵; (2)、 证明: 同时相似于上三角阵; (3)、 若 , 求 的最小值.[第09届数学类]

1、 (本题 20 分, 每小题各 5 分) 填空题.

(1)、 设 为实对称方阵, 和 构成其行向量的一个极大无关组. 则有  

[第10届数学类]

(4)、 设 为 阶实正交方阵, 中元素皆为  的 子矩阵的个数记为 . 则 最多为 .[第10届数学类]

3、 (本题 15 分) 证明:任意 阶实方阵 可以分解成  

其中 , 是实数, 与 都是幂零方阵.[第10届数学类]

5、 (本题 20 分) 设 是数域 上的 阶矩阵, 若 ( 表示单位矩阵), 则称 为对合矩阵. 试证:

(1)、 若 是 阶对合矩阵, 则