曲线曲面积分

4、 (15 分) 已知平面区域  

为 的正向边界, 试证:

(1)、 ; (2)、 .[第01届非数学类]

6、 (本题共 15 分) 设函数 具有连续的导数, 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上, 曲线积分  

的值为常数.

(1)、 设 为正向闭曲线 . 证明:  

(2)、 求函数 ; (3)、 设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线, 求  

[第02届非数学类]

(4)、 设函数 连续可微, , 且  

在右半平面上与路径无关, 求 ; [第04届非数学类]

5、 (14 分) 设 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分  

试确定曲面 , 使得积分 的值最小, 并求该最小值.[第05届非数学类]

6、 (14 分) 设  , 其中 为常数, 曲线 为椭圆 , 取正向. 求极限 .[第05届非数学类]

4、 (本题满分 14 分)

(1)、 设一球缺高为 , 所在球半径为 . 证明该球缺的体积为 , 球冠的面积为 . (2)、 设球体  

被平面 所截的小球缺为 . 记球缺上的球冠为 , 方向指向球外, 求第二型曲面积分  

[第06届非数学类]

3、 (本题 14 分) 设 为曲线  

上从点 到点 的一段. 求曲线积分  

[第09届非数学类]

2、 (本题满分 8 分) 设函数 在 时一阶连续可导, 且 , 求函数 , 使得曲线  

与路径无关, 其中 为任一不与直线 相交的分段光滑曲线.[第10届非数学类]

5、 (本题满分 12 分) 计算  

曲线 从 轴正向往坐标原点看去取逆时针方向.[第12届非数学类]

(2)、 计算  

其中 为下半球面  的上侧, . [第01届非数学类]

5、 (本题 12 分) 设连续可微函数 由方程  

(其中 有连续的偏导数) 唯一确定, 为正向单位圆周. 试求:  

[第03届非数学类]

5、 (12 分) 设函数 连续可导,  

邮箱曲面 是圆柱体 的表面, 方向朝外. 记第二型曲面积分  

求极限  .[第05届非数学类]

(5)、 设曲线积分  , 其中 是以 为顶点的正方形的边界曲线, 方向为逆时针, 则 . [第06届非数学类]

6、 (本题 14 分) 设 和 在空间上有连续偏导数, 设上半球面  

方向朝上. 若对任何点 和 , 第二型曲面积分  

证明: . [第07届非数学类]

(3)、 设曲线 是空间区域  

的表面与平面  的交线, 则  

[第10届非数学类]

(3)、 记空间曲线 , 则积分 . [第12届非数学类]

6、 (本题 20 分) 对于有界区间 的划分  

其范数定义为  

现设 上的函数 满足 Lipschitz 条件, 即存在常数 使得对任何 , 成立  

定义  

若 存在, 则称曲线 可求长. 记 为 的 等分. 证明:

(1)、 存在. (2)、 曲线 可求长. [第12届数学类A卷]

(3)、 计算第一型曲面积分的值:  

[第06届数学类]

(3)、 计算曲面积分  

( 为常数), 其中  , 取上侧. . [第08届数学类]

(3)、 设 为空间曲线 则第二型曲线积分  

[第09届数学类]