重积分

1、 填空题 (每小题 5 分, 共 20 分).

(1)、 计算  

其中区域 由直线 与两坐标轴所围三角形区域. [第01届非数学类]

6、 (10 分) 设抛物线 过原点, 当 时, , 又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为  . 试确定 , 使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 最小.[第01届非数学类]

5、 (本题共 15 分) 设 是过原点、方向为 (其中 ) 的直线, 均匀椭圆  

(其中 , 密度为 ) 绕 旋转.

(1)、 求其转动惯量; (2)、 求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值.[第02届非数学类]

(3)、 求  

其中  . [第03届非数学类]

6、 (本题共 15 分) 设函数 连续, 为常数, 是单位球面 . 记第一型曲面积分  

求证: . [第03届非数学类]

6、 (本题 12 分) 设 为连续函数, . 区域 是由抛物面 和球面 所围起来的上半部分. 定义三重积分  

求 的导数 .[第04届非数学类]

(3)、 曲面 在点 的切平面与曲面 所围区域的体积为 . [第07届非数学类]

6、 (本题满分 16 分) 设 在 上有连续的二阶偏导数, 且  

若 , 证明:  

[第07届非数学类]

3、 (满分 14 分) 某物体所在的空间区域为  

密度函数为 , 求质量  

[第08届非数学类]

(6)、 记曲面 和  围成的空间区域为 , 则三重积分  

[第09届非数学类]

4、 (本题满分 12 分) 计算三重积分 , 其中 是由  

所围成的空心立体.[第10届非数学类]

2、 (本题满分 14 分) 计算三重积分  

其中 是由曲面 围成的区域在第一卦限的部分.[第11届非数学类]

4、 (本题满分 14 分) 计算积分  

[第11届非数学类]

(4)、 已知  , 则  

[第12届非数学类]

(3)、 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元, 而侧面的材料费为单位面积 元. 试给出最节省的设计方案: 即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? [第01届非数学类]

5、 (本题 16 分) 已知 是空间曲线  绕 轴旋转形成的椭球面的上半部分 (取上侧), 是 在 点处的切平面, 是原点到切平面 的距离, 表示 的正法向的方向余弦. 计算:

(1)、 ; (2)、 .[第02届非数学类]

(5)、 求曲面 和  ( ) 所围立体的表面积.[第03届非数学类]

4、 (本题共 16 分, 第 1 小题 6 分, 第 2 小题 10 分) 设 为椭圆形  

面密度为 的均质薄板; 为通过椭圆焦点 (其中 ) 垂直于薄板的旋转轴.

(1)、 求薄板 绕 旋转的转动惯量 ; (2)、 对于固定的转动惯量, 讨论椭圆薄板面积的是否有最大值和最小值.[第03届非数学类]

5、 (15 分) 求二重积分  

[第04届非数学类]

1、 解答下列各题 (本题共 28 分, 每小题 7 分)

(1)、 计算积分 . [第05届非数学类]

(2)、 设 , 则  

的值是 . [第07届非数学类]

3、 (本题满分 14 分) 设 在 上连续, 证明:  

[第07届非数学类]

4、 (本题 14 分) 设函数 在区域  

上具有连续的二阶偏导数, 且满足  

计算 .[第08届非数学类]

6、 (本题满分 12 分) 设函数 在区域  

上具有一阶连续偏导数, 且满足 , 以及  

其中 . 证明:  

[第09届非数学类]

4、 计算三重积分  

其中 .[第10届非数学类]

6、 (15 分) 是  上二次连续可微函数, 满足  

计算积分  

[第01届数学类]

5、 设  

考虑积分  

定义 .

(1)、 证明:  ; (2)、 利用变量替换  计算积分 的值, 并由此推出  

[第01届数学类]

(3)、 设 , 则积分  . [第07届数学类]

1、 (本题 20 分, 每小题 5 分) 填空题.

(1)、 设 , 则积分  

[第12届数学类]