多元函数微分学

(3)、 曲面 平行平面 的切平面方程是 . [第01届非数学类]

(4)、 设函数 有二阶连续导数,  ,  , 求 . [第02届非数学类]

5、 (本题共 15 分) 设 是由方程  

确定的隐函数, 其中 具有连续的二阶偏导数, 且 . 求证: 和  

[第03届非数学类]

(3)、 已知函数  , 且 , 确定常数 和 , 使得函数 满足方程 ; [第04届非数学类]

(3)、 设函数 由 所确定.求 的极值. [第05届非数学类]

(2)、 设有曲面 和平面 , 则与平面 平行的 的切平面方程是 . [第06届非数学类]

(2)、 设函数 由方程  

所决定, 其中 具有连续偏导数, 且 . 则  

(本小题结果要求不显含 及其偏导数) [第07届非数学类]

(3)、 设 有连续导数, 且 . 记 , 若 , 求 在 的表达式. [第08届非数学类]

(5)、 曲面 平行与平面 的切平面方程为 .[第08届非数学类]

(3)、 设 具有二阶连续偏导数, 且  

其中 为非零常数, 则  

[第09届非数学类]

2、 (本题 14 分) 设二元函数 在平面上有连续的二阶偏导数, 对任意角度 , 定义一元函数  

若对任何 都有 且 , 证明: 是 的极小值.[第09届非数学类]

(2)、 若曲线 由  确定, 则此曲线在 对应点处的切线方程为 . [第10届非数学类]

5、 (本题满分 14 分) 设 在区域 内可微, 且  

, 是 内两点, 线段 包含在 内. 证明:  

其中 表示线段 的长度.[第10届非数学类]

(4)、 已知  

则 . [第11届非数学类]

(5)、 设 , 曲面 与曲面  

相切, 则 .[第11届非数学类]

(3)、 设 是由方程  

确定的隐函数, 且满足 , 则曲线 在点 处的切线方程为 . [第12届非数学类]

4、 (本题满分 12 分) 已知  

其中 均为二次可微函数.

(1)、 求  ; (2)、 当 , 且  

时, 求 .[第12届非数学类]

4、 (本题 17 分) 设  

其中 ,  

为 和 的交线. 求椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.[第02届非数学类]

(3)、 设函数 有二阶连续偏导数, 满足  

且 , 是由方程 所确定的函数. 求 . [第03届非数学类]

(2)、 设 具有连续偏导数, 且满足  

求 所满足的一阶微分方程, 并求其通解. [第04届非数学类]

(5)、 过直线  作曲面 的切平面, 求此切平面的方程.[第04届非数学类]

(3)、 设 和 有连续偏导数, , 曲线  过点 . 记 在 平面上的投影曲线为 . 求 上过点 的切线方程. [第05届非数学类]

2、 (本题满分 12 分) 设 是平面上点 处的 个方向向量, 相邻两个向量之间的夹角为  . 若函数 在点 有连续偏导数, 证明 .[第06届非数学类]

2、 (本题满分 14 分) 设 在全平面上有连续的偏导数, 证明: 曲面  

的所有切平面都交于点 .[第07届非数学类]

(2)、 设可微函数 满足  

则 . [第08届非数学类]

(4)、 设函数 由方程 确定, 其中 具有连续二阶偏导数, 则 . [第10届非数学类]

(2)、 设函数 由方程 所确定, 则曲线 在点  处的切线方程为 . [第11届非数学类]

3、 (12 分) 设  

其中 具有二阶连续偏导数. 已知  

试求  

并要求化简.[第11届非数学类]

6、 (12 分) 设 是由光滑的简单封闭曲面 围成的有界闭区域, 函数 在 上具有连续二阶偏导数, 且 . 记 为 的梯度, 并令  

证明: 对任意常数 , 恒有  

[第11届非数学类]

(2)、 设 为空间的两点, 则函数  在点 处沿  方向的方向导数为 . [第12届非数学类]

(5)、 函数 的所有极值点为 .[第12届非数学类]

4、 (本题 10 分) 对于 , 求  

的最大值.[第03届数学类]

4、 设  , 在 内连续, 在 内连续有界, 且满足条件:

(1)、 当 时, ; (2)、 在 中 与 有二阶偏导数,  

证明: 在 内处处成立.[第01届数学类]