数项级数

4、 (本题共 15 分) 设 , 证明:

(1)、 当 时, 级数  收敛; (2)、 当 , 且 时, 级数  发散.[第02届非数学类]

7、 (本题 14 分) 设 和 为正项级数, 那么

(1)、 若 , 则 收敛; (2)、 若 且 发散, 则 发散. [第04届非数学类]

3、 (12 分) 设 在 处存在二阶导数 , 且 . 证明: 级数  收敛.[第05届非数学类]

7、 (14 分) 判断级数  的敛散性, 弱收敛, 求其和. [第05届非数学类]

7、 (本题满分 14 分) 已知  ,  是正项级数, 且  

为一正常数. 证明: 若级数 收敛, 则级数  

收敛. [第10届非数学类]

5、 (本题满分 14 分) 设 是仅有正实根的多项式函数, 满足  

证明: , ( ), 极限  存在, 且等于 的最小根.[第11届非数学类]

7、 (本题满分 14 分) 设  

(1)、 证明数列  收敛, 并求极限 ; (2)、 证明级数 条件收敛; (3)、 证明当 时级数  收敛, 并求级数  的和. [第12届非数学类]

6、 (本题 12 分) 设 是 内的可微函数, 且 , 其中 . 任取实数 , 定义  

证明: 绝对收敛.[第02届非数学类]

6、 (15 分) 若对于任何收敛于零的序列  , 级数 都是收敛的, 试证明级数 收敛. [第04届非数学类]

4、 (本题满分 14 分) 设  , 且  

证明  收敛且求和.[第06届非数学类]

5、 (本题满分 14 分) 设 , 其中 为正整数.

(1)、 若 , 计算  ; (2)、 设 为实数, 讨论级数 的绝对收敛性和条件收敛性.[第07届非数学类]

(4)、  的整数部分为 . [第08届非数学类]

7、 (本题满分 12 分) 设 , 且满足 (有限或 ).

(1)、 证明: 当 时级数 收敛, 当 时级数 发散; (2)、 讨论 时级数 的收敛性并阐述理由. [第09届非数学类]

5、 求级数  之和.[第10届非数学类]

7、 设 问单调递减的正实数列, , 为一实数列, 级数 收敛, 证明:  

[第10届非数学类]

7、 (12 分) 设  为正数列, 满足  

其中常数 .

(1)、 对于 , 判断级数  的敛散性; (2)、 讨论级数 的敛散性. [注: 设数列  满足 , 则 存在常数 及正整数 , 使得 对任意 成立.] [第11届非数学类]

5、 (10 分) 设  

证明:  收敛.[第01届数学类]

2、 (本题 15 分) 设  是递增数列, . 求证: 级数  

收敛的充分必要条件是  有界. 又问级数通项分母中的 能否换成  ?[第09届数学类]

5、 (本题 15 分) 设  是两个数列, , 绝对收敛, 且  

求证:

(1)、 ( ); (2)、 发散.[第10届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 收敛,  

证明: .[第02届数学类]

(2)、 令  . 若  收敛, 则 的取值范围是 . [第07届数学类]

7、 (本题 10 分) 设正项级数  收敛. 证明级数  收敛, 其中 . [第11届数学类B]