大学数学竞赛

张祖锦

目录

  • 1 2022年第14届cmc培训
    • 1.1 数列极限(讲完有视频)
    • 1.2 函数极限(讲完有视频)
    • 1.3 微分(讲完有视频)
    • 1.4 微分法与不等式
    • 1.5 不定积分
    • 1.6 定积分
    • 1.7 积分与极限
    • 1.8 积分法与不等式
    • 1.9 广义积分
    • 1.10 说明
  • 2 课程介绍
    • 2.1 103页历届cmc试题pdf下载
  • 3 课程提纲
    • 3.1 数列极限
    • 3.2 函数极限
    • 3.3 连续
    • 3.4 微分
    • 3.5 微分法与不等式
    • 3.6 不定积分
    • 3.7 定积分
    • 3.8 积分与极限
    • 3.9 积分法与不等式
    • 3.10 广义积分
    • 3.11 数项级数
    • 3.12 函数项级数
    • 3.13 幂级数
    • 3.14 Fourier级数
    • 3.15 多元函数微分学
    • 3.16 重积分
    • 3.17 曲线曲面积分
    • 3.18 多项式
    • 3.19 行列式
    • 3.20 矩阵
    • 3.21 二次型
    • 3.22 线性空间与线性变换
    • 3.23 解析几何
    • 3.24 常微分方程
  • 4 考研真题
    • 4.1 安徽大学
    • 4.2 北京工业大学
    • 4.3 北京交通大学
    • 4.4 北京科技大学
    • 4.5 北京邮电大学
    • 4.6 北京邮电大学
  • 5 大学生数学竞赛试题讲解
    • 5.1 第11届中国大学生数学竞赛非数学类决赛试题视频讲解
    • 5.2 第11届中国大学生数学竞赛数学类1-2年级决赛试题视频讲解
积分法与不等式

积分法与不等式

5、 (本题 12 分) 求最小实数 , 使得对满足 的连续函数 , 都有 .[第04届非数学类]

4、 (10 分) 设 . 证明:  

[第05届非数学类]


5、 (本题满分 16 分) 设函数 在 上连续, 且  

试证:

(1)、 使 ; (2)、 使 .[第07届非数学类]

2、 (满分 14 分) 设 在 上可导, , 且当 . 试证: 当 ,  

[第08届非数学类]


4、 (满分 14 分) 设函数 在闭区间 上具有连续导数, . 证明:  

[第08届非数学类]

4、 (本题 15 分) 设函数 且在实轴上连续, 若对任意实数 , 有  

证明: , 有  

[第09届非数学类]

3、 (本题满分 14 分) 设 在区间 上连续, 且 . 证明:  

[第10届非数学类]

6、 (本题满分 14 分) 证明: 对于连续函数 , 有  

[第10届非数学类]

(2)、 设 是 上的连续函数, 且满足 . 求一个这样的函数 使得积分  

取得最小值. [第05届非数学类]

3、 (12 分) 设当 时, 可微函数 满足条件  

且 . 试证: 当 时, 有 成立.[第05届非数学类]

4、 (10 分) 设  

其中函数 在 上有连续二阶偏导数. 若对任何 有 且 . 证明  .[第05届非数学类]

3、 (本题 14 分) 设 为 上连续的周期为 的周期函数, 且满足  

证明: 当 时, 有  

并给出取等号的条件.[第08届非数学类]

7、 (10 分) 设 是 的连续函数, 且 单调增加, 求证:  

[第12届非数学类]

8、 (10 分) 已知 是一个严格单调下降的连续函数, 满足 , 且  

其中  表示 的反函数. 求证:  

[第02届数学类]

2、 (本题 10 分) 设 为 上的非负连续函数. 求证: 存在 使得  

[第03届数学类]

5、 (本题 20 分) 设 为偶函数, 在 上是增函数; 又设 是 上的凸函数, 即  

试证:  

[第05届数学类]

4、 (本题 20 分) 设 和 是 中正连续函数, 满足  

设  

求证: 数列  

单调递增且收敛.[第08届数学类]

6、 (本题 15 分) 设 和 是 区间上的单调递增函数, 满足  

求证:  . [第08届数学类]

2、 (15 分) 设 在 上连续, 且 , 证明:  

[第12届数学类B卷]

6、 (20 分) 设函数 在 上连续, 满足对任意 ,  

证明:  . [第12届数学类B卷]

2、 (本题 15 分) 设 , 无穷积分 和 都收敛. 求证:  

[第02届数学类]

5、 (20 分) 设 是 上非负可导函数, ,  . 假设 收敛. 求证: 对任意 , 也收敛, 并且  

[第05届数学类]

6、 (本题 15 分) 设 在区间 上连续可导, 且 . 求证:  

等号当且仅当 时成立, 其中 是常数. [第06届数学类]

4、 (本题 20 分) 设 在 上有二阶连续导数, 且 . 求证:  

[第09届数学类]