定积分

4、 (本题 15 分) 在平面上, 有一条从点 向右的射线, 其线密度为 . 在点 (其中 ) 有一质量为 的质点. 求射线对该质点的引力.[第03届非数学类]

(4)、 过曲线  ( ) 上的点 作切线, 使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积为  , 求点 的坐标.[第05届非数学类]

2、 (12 分) 计算定积分  

[第05届非数学类]

2、 (本题满分 12 分) 设 为正整数, 计算  

[第06届非数学类]

5、 (满分 14 分) 设函数 在区间 上连续, 且  

证明在 内存在不同的两点 , 使得  

[第08届非数学类]

1、 填空题 (本题共 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分).

(1)、 已知可导函数 满足  

则 . [第09届非数学类]

(3)、 定积分  

[第11届非数学类]

6、 (本题满分 12 分) 证明  

等于 的所有因子 (包括 和 本身) 之和, 其中 表示不超过 的最大整数, 并计算 .[第12届非数学类]

7、 (本题 15 分) 是否存在区间 上的连续可微函数 , 满足  

请说明理由. [第02届非数学类]

2、 (15 分) 设曲面  

其面密度为常数 . 求在原点处的质量为 的质点和 之间的引力 (记引力常数为 ).[第04届非数学类]

(5)、 曲线 绕直线 旋转生成的旋转曲面的面积为 .[第08届非数学类]

(5)、 设函数 的导数 在 上连续, , 且满足  

则 .[第11届非数学类]

7、 (本题共 10 分) 设 在区间 上 Riemann 可积, . 求证: 对任何 , 存在只取值 和 的分段 (段数有限) 常值函数 , 使得 ,  

[第02届数学类]

6、 (本题 15 分) 设 可微, 其中 为实数集. 已知 , 且对任意 有 . 求证: 对任意正整数 , 有  

[第04届数学类]

6、 (本题 20 分) 设 是 上有下界或者有上界的连续函数且存在正数 使得  

为常数. 求证: 为常数. [第07届数学类]

(3)、 设函数 在区间 上连续, 由积分中值公式有  

若导数 存在且非零, 则  的值等于 . [第01届数学类]

2、 (本题 15 分) 设 在 上有两阶导数, 且 在 上黎曼可积, 证明  

[第03届数学类]

6、 (本题 20 分) 令 为实数域, 为给定的正整数, 表示所有 次首一实系数多项式组成的集合.证明:  

[第04届数学类]

6、 (本题 10 分) 设 是定义在 上的连续函数, 且满足方程  

求 . [第07届数学类]

(2)、 已知 在区间 内有二阶连续导数, , 则 . [第11届数学类]

4、 (本题 20 分) 证明:

(1)、 证明:函数方程 存在三个在闭区间 上连续, 在开区间 内连续可微的解 满足  

(2)、 若 是 上的连续偶函数, 证明:  

[第11届数学类]