微分

(2)、 设 是连续函数, 且满足  

则 . [第01届非数学类]

(4)、 设函数 由方程 确定, 其中 具有二阶导数, 且 , 则  

[第01届非数学类]

3、 (15 分) 设函数 连续, , 且 , 为常数, 求 并讨论 在 处的连续性.[第01届非数学类]

我们首先回顾了下微分的定义及性质，其次探讨了各种中值定理的运用，这其中包括了 Taylor 公式证明二项式定理，还可用来证明质能方程呢。 见链接。

2、 (本题共 15 分) 设函数 在 上具有二阶导数, 并且  

且存在一点 , 使得 . 证明: 方程 在 恰有两个实根.[第02届非数学类]

还有一点时间， 我们讲解了和的幂与幂的和的关系，对一致连续的题很有用哦。

3、 (本题共 15 分) 设函数 由参数方程 所确定. 且  

其中 具有二阶导数, 曲线 与  

在 处相切. 求函数 .[第02届非数学类]

3、 (本题共 15 分) 设函数 在闭区间 上具有连续的三阶导数, 且  

求证: 在开区间 内至少存在一点 , 使得 .[第03届非数学类]

3、 (本题 10 分) 求方程 的近似解, 精确到 .[第04届非数学类]

(3)、 设函数 由方程 所确定, 求 . [第06届非数学类]

3、 (本题满分 12 分) 设 在 内二次可导, 且存在常数 , 使得对于 , 有  

则 在 内无穷次可导.[第07届非数学类]

(4)、 设 , 则 . [第08届非数学类]

3、 (本题满分 14 分) 设 在 上可微, , 且存在常数 , 使得  

在 上成立, 试证明在 上有 .[第11届非数学类]

(2)、 设函数  , 则 . [第12届非数学类]

3、 (本题满分 10 分) 设 在 上连续, 在 内可导, 且 , . 证明:

(1)、 存在 , 使得 ; (2)、 存在 , 且 , 使得  

[第12届非数学类]

5、 设函数 在 上连续, 在 内可微, 且  

证明:

(1)、 存在  使得 ; (2)、 存在 使得 .[第01届非数学类]

7、 是否存在 中的可微函数 使得  

若存在, 请给出一个例子; 若不存在, 请给出证明.[第01届非数学类]

(3)、 已知  求  .[第02届非数学类]

3、 (本题 15 分) 设函数 在 的某邻域内有二阶连续导数, 且 均不为零. 证明: 存在唯一一组实数 , 使得  

[第02届非数学类]

3、 (本题 13 分) 设 在 上无穷次可微, 并且满足: 存在 , 使得  

且  . 求证: 在 上, .[第03届非数学类]

4、 (15 分) 设函数 在 上二阶可导, 且 , 又 . 试证在 内至少存在一点 , 使得 .[第04届非数学类]

2、 (12 分) 设 ,  

其中 是与 无关的常数, 证明 是不超过三次的多项式.[第05届非数学类]

(3)、 设 二阶连续可导, 且 , 若  

则 . [第07届非数学类]

3、 (本题满分 11 分) 设函数 在闭区间 上连续且 , 证明: 在区间 上存在三个不同的点 , 使得  

[第09届非数学类]

(4)、 设  

其中 为正整数, 则 . [第11届非数学类]

4、 (10 分) 设函数 在 上具有连续导数, 且  

证明: 存在 , 使得 .[第11届非数学类]

4、 (12 分) 设函数 在 上连续, 在 内二阶可导, 且  

(1)、 证明: 存在互不相同的点 , 使得 ; (2)、 证明: 存在 , 使得 .[第12届非数学类]

7、 (15 分) 假设函数 在 上连续, 在 内二阶可导, 过点  , 与点  的直线与曲线 相交于点  , 其中 . 证明: 在 内至少存在一点 , 使得 . [第01届数学类]

3、 (本题共 10 分) 设 是凸区域, 函数 是凸函数. 证明或否定: 在 上连续. 注: 函数 为凸函数的定义是 以及 , 成立  

[第02届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 , 可微. 求证: 存在趋于 的正数列  , 使得 .[第05届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 在 上有二阶导函数, 都大于零. 假设存在正数 使得 对一切 成立.

(1)、 求证: ; (2)、 求证: 存在常数 使得 . (3)、 求使上面不等式成立的最小常数 .[第06届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 在 上连续可微, 在 处有任意阶导数, , 且存在常数 使得 . 证明:

(1)、 ; (2)、 在 上成立 .[第10届数学类]

(2)、 若关于 的方程 在区间 内有唯一实数解, 则常数 . [第01届数学类]

3、 (本题 10 分) 设 为给定的正整数, 为实参数. 指出函数  

在 上零点个数的 (当 变化时的) 最小可能值并加以证明.[第03届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 为区间 上的可导函数. 对 , 若存在 的领域 使得对任意的  都有 , 则称 为 的凹点; 类似地, 若存在 的领域 使得对任意的  都有 , 则称 为 的凸点. 求证: 若 是区间 上的二次可微函数, 且不是一次函数, 则 一定存在凹点或凸点.[第04届数学类]

4、 (本题 15 分) 设 为 上关于 单调下降的二元函数. 设 和 是可微函数, 且满足  

已知 . 求证: .[第05届数学类]

6、 (20 分) 对多项式 , 用 表示其最大和最小实根之间的距离. 设 为自然数. 求最大实数 , 使得对任何所有根都是实数的 次多项式 都有 [第05届数学类]

(2)、 设 为实数, 关于 的方程  

有虚根的充分必要条件是 满足 . [第08届数学类]

(2)、 设 满足 及  

则 . [第10届数学类]

4、 (本题 20 分) 设 , 且对任何非负整数 均存在且为零. 进一步存在常数 使得  

证明:

(1)、 若 , 则在 上 . (2)、 若 , 举例说明在 上 可以不成立.[第10届数学类]

2、 (本题 15 分) 设 , 在 上非负, 有二阶导函数, , 且在 上不恒为零. 求证: 存在 使得  

[第11届数学类A]

6、 (本题 20 分) 设  .

(1)、 证明 是 上的凸函数. 进一步证明当 时成立