大学数学竞赛

张祖锦

目录

  • 1 2022年第14届cmc培训
    • 1.1 数列极限(讲完有视频)
    • 1.2 函数极限(讲完有视频)
    • 1.3 微分(讲完有视频)
    • 1.4 微分法与不等式
    • 1.5 不定积分
    • 1.6 定积分
    • 1.7 积分与极限
    • 1.8 积分法与不等式
    • 1.9 广义积分
    • 1.10 说明
  • 2 课程介绍
    • 2.1 103页历届cmc试题pdf下载
  • 3 课程提纲
    • 3.1 数列极限
    • 3.2 函数极限
    • 3.3 连续
    • 3.4 微分
    • 3.5 微分法与不等式
    • 3.6 不定积分
    • 3.7 定积分
    • 3.8 积分与极限
    • 3.9 积分法与不等式
    • 3.10 广义积分
    • 3.11 数项级数
    • 3.12 函数项级数
    • 3.13 幂级数
    • 3.14 Fourier级数
    • 3.15 多元函数微分学
    • 3.16 重积分
    • 3.17 曲线曲面积分
    • 3.18 多项式
    • 3.19 行列式
    • 3.20 矩阵
    • 3.21 二次型
    • 3.22 线性空间与线性变换
    • 3.23 解析几何
    • 3.24 常微分方程
  • 4 考研真题
    • 4.1 安徽大学
    • 4.2 北京工业大学
    • 4.3 北京交通大学
    • 4.4 北京科技大学
    • 4.5 北京邮电大学
    • 4.6 北京邮电大学
  • 5 大学生数学竞赛试题讲解
    • 5.1 第11届中国大学生数学竞赛非数学类决赛试题视频讲解
    • 5.2 第11届中国大学生数学竞赛数学类1-2年级决赛试题视频讲解
数列极限

数列极限

1、 (本题共 5 小题, 每小题各 5 分, 共 25 分) 计算下列各题 (要求写出重要步骤).

(1)、 设 , 其中 , 求 . [第02届非数学类]

(2)、 设  , 求 . [第03届非数学类]

2、 (本题共 16 分) 设 为数列, 为有限数, 求证:

(1)、 如果 , 则  

(2)、 如果存在正整数 , 使得 , 则  

[第03届非数学类]

1、 (本题共 5 小题, 每小题各 6 分, 共 30 分) 解答下列各题 (要求写出重要步骤).

(1)、 求极限  ; [第04届非数学类]

1、 (共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分) 解答下列各题.

(1)、 求极限 . [第05届非数学类]

(4)、 设  , 则 . [第06届非数学类]

6、 (本题满分 15 分) 设  

求  . [第06届非数学类]

1、 填空题 (本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分).

(1)、 极限 . [第07届非数学类]

1、 填空题 (满分 30 分, 每小题 6 分).

(1)、 若 在点 可导, 且 , 则  

[第08届非数学类]

(2)、 极限 . [第09届非数学类]

5、 (本题 15 分) 设  为一个数列, 为固定的正整数, 若 . 证明:  

[第09届非数学类]

1、 填空题 (本题满分 24 分, 共 4 小题, 每小题 6 分).

(1)、 设 , 则 . [第10届非数学类]

2、 (本题满分 10 分) 设数列  满足: , 且  

求极限 .[第12届非数学类]

1、 计算下列各题 (要求写出重要步骤).

(1)、 求极限  . [第01届非数学类]

2、 求下列极限.

(1)、  ; [第01届非数学类]

(2)、 , 其中 .[第01届非数学类]

(2)、  ; [第02届非数学类]

(5)、 极限  的值为 .[第07届非数学类]

6、 (本题 14 分) 设 .

(1)、 证明: 极限 存在; (2)、 记 , 讨论级数 的敛散性. [第08届非数学类]

4、 (本题满分 12 分) 求极限  

[第09届非数学类]

2、 设 在区间 内三阶连续可导, 满足  

又设数列  满足  

严格单调减少且 . 计算 .[第10届非数学类]

2、 (12 分) 求极限  

[第11届非数学类]

1、 填空题 (本题满分 30 分, 每小题 6 分).

(1)、 极限 . [第12届非数学类]

1、 (本题共 10 分) 设 ,  

证明 存在, 且 为方程 的唯一根.[第02届数学类]

5、 (本题 15 分) 对于任何实数 , 求证: 存在取值于  的数列 , 满足  

[第03届数学类]

3、 (本题 15 分) 设 在 上二阶连续可微, , , 且 . 令 .

(1)、 求证:  收敛并求其极限; (2)、 试问  是否收敛? 若收敛, 求出其极限; 若不收敛, 请说明理由.[第05届数学类]

6、 (本题 20 分) 设 ,  是正数列且满足  

求证: , 其中 . [第06届数学类]

4、 (本题 15 分) 数列  满足关系式  

求证:  存在.[第07届数学类]

2、 (本题 15 分) 求极限  

[第12届数学类A卷]

5、 (本题 15 分) 设 是 上严格单调增加的连续函数, 是 的反函数, 实数列  满足  

证明  收敛或举例说明  有可能发散.[第12届数学类A卷]

2、 设 在 内有定义, 在 处可导, 且 . 证明:  

[第01届数学类]

4、 (本题 10 分) 设正数列  满足  

求证: .[第03届数学类]

2、 (本题 15 分) 设函数 满足条件:

(1)、 , 其中 ; (2)、 存在常数 使得  

设 , 令 . 证明: 存在, 且 .[第04届数学类]

5、 (本题 15 分) 设 为正整数. 令  

(1)、 数列  单调增且有界, 从而极限 存在. (2)、 求极限 .[第08届数学类]

5、 (本题 15 分) 设 , 且  

证明:  收敛当且仅当 .[第10届数学类]

5、 (本题 15 分) 设 , , 实数列  满足  

其中  是有正的上下界. 证明:  有界.[第11届数学类A]

3、 (本题 15 分) 设数列  满足  

证明: 数列  收敛并求其极限.[第11届数学类B]

6、 (本题 15 分) 设函数 为区间 上的连续凹函数, 满足 且 在 处存在非零的右导数. 对 , 记  

(1)、 证明对 , 存在唯一 使得 ; (2)、 求  .[第11届数学类B]

1、 (本题 20 分) 填空题 (每小题 5 分).

(1)、 . [第11届数学类]

(2)、 设 , 则 . [第12届数学类]

5、 (本题 15 分) 设 和 均为实数. 回答以下问题:

(1)、 成立的充要条件是什么? (2)、 成立的充要条件是什么?[第12届数学类]