欧拉

下一位关键人物是欧拉，他是约翰·伯努利的学生。在约翰·伯努利的基础上，欧拉在18世纪30年代发表的一篇论文中用表示的任意函数，之后在1748年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把一个变量的函数看作由该变量和一些常数以任何方式构成的解析表达式，如，。欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积分是关于函数的，而不是关于曲线的。这是欧拉的“解析式”定义。

1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数”。这是欧拉的“依赖关系”定义。

总之，欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数”函数、“超越”函数，“单值”函数、“多值”函数等术语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示。欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变量说”。欧拉对函数发展的更多贡献可参考。

欧拉及同时代的其他数学家都要求函数是通过一个解析式表达出来的，根据他们的观点，

不能称之为一个函数。在这一时期，持用解析式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位。

丹尼尔·伯努利在研究弦振动方程时，获得了一个称为三角级数（即后来的Fourier级数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有的函数都可以表示为三角级数的形式。

拉格朗日在《解析函数论》（1797年）中称一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母或放在一个变量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种给定的规律随着那个变量一起变化。拉格朗日在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限制为解析函数。

德摩根在1837年的《代数学》中将函数定义为以任意方式包含x的表达式。1851年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称“若一个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第一个变量为第二个变量的函数”。英国传教士伟烈亚力（A. Wylie，1815-1887）和清代数学家李善兰（1810-1882）翻译的《代数学》和《代微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）正是这两本书，它们采用的都是函数的“解析式”定义，因此他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同。李善兰将函数符号“”用“函”表示，从而函数用汉字化符号表示成“地=函（天）”。《代数学》中函数定义为：“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”，这就是中文数学名词“函数”的由来。当代数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译著，因为它们给中国传统数学带来了西方符号表示理论体系和系统化的微积分理论。

对函数概念的简单回顾可以看出函数概念是一代代数学家经过多次抽象的结果，不同的历史阶段，对函数的认识角度不同，即使是同一数学家，在其不同阶段对函数的定义也有差异。函数是微积分的基本研究对象，但从历史上看，微积分在函数概念没有明确给出之前就建立了，最早的微积分是建立在曲线上的（几何学）。函数概念的提出使得诞生于几何学的微积分走上了代数化的道路，作为继欧几里得几何之后，全部数学中一个最大的创造，微积分的发展又促使人们对函数有了新的认识。

函数最早是一个几何概念，当用解析式表达函数时成为一个代数概念（或分析概念），从数学史上看，用幂级数定义的函数（如的幂级数定义）、用积分定义的函数（如欧拉定义的Gamma函数，概率论中正态分布函数等）、用微分方程或偏微分方程的解定义的函数（如Bessel函数、超几何函数等特殊函数）等对推动数学和应用数学的发展起了非常重要的作用，感兴趣的读者可以参考；当函数作为“对应”的“逻辑”概念出现时，函数的概念进一步得到发展。随着数学的发展，函数的概念不断精确化，并且不断推广和发展，其漫长的演变过程，体现了人们追求真理的执着精神。

当谈到数学符号，不得不提及莱布尼茨。莱布尼茨希望找到一个符号系统，并给出这些符号之间的运算规则或推理演算规则，使用这种符号演算，就能够判断用这种语言写成的句子何时为真。给出这样一套理想的符号系统或语言，给出确定的语言演算规则，把日常问题转化为这种语言，利用演算就可以求解问题的答案，这就是莱布尼茨之梦！莱布尼茨曾说“符号的一般技巧或记法上的技巧是一种绝妙的辅助工具，因为它减轻了想象的职务，……要是所用的记号简洁地表达了而且反映了事物最本质的话，那么思想的工作就大大地减少了”。如莱布尼茨把曲线看成是边数为无穷的多边形，每个点的纵坐标为，是无穷多边形的边的交点确定的横轴的无穷小的部分，从而表示无穷小面积，因此莱布尼茨的记号解释为曲线下的面积。莱布尼茨发明的微分符号和积分符号沿用至今，莱布尼茨的这些符号也把只有少数专家能懂的微积分理论变成了可以在教科书中讲授的清晰明白的内容。数学史学家梁宗巨先生认为“一套合适的符号，绝对不仅仅是起速记、节省时间的作用。因为他能精明地、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系，对于一个复杂的公式，如果不用符号而用日常用语来表述，往往十分冗长而模糊不清。”莱布尼茨使用的符号具有极大的优越性，这充分体现了一套好的符号体系与演算规则力量无穷！

然而，从我们所查阅的资料分析可以看出，尽管“function”一词是莱布尼茨最早引入的，但我们熟悉的函数符号的创立应归功于欧拉。事实上，欧拉引入的符号在几何学、代数学、三角学及分析学中也随处可见，如三角学中使用小写字母、和表示三角形的边，使用对应的大写字母、和表示对应的角，就源自于欧拉，此外用表示对数函数，用表示求和也都源于欧拉。总之，我们今天所使用的符号之所以是这个样子，很大一部分功劳归功于欧拉和莱布尼茨。