几年后的 1624 年，e 又一次差点就进入了数学文献，结果还是差了点。那一年，布里格斯（Briggs）算出了 e 的常用对数（以 10 为底）的数值近似值，却没在著作中提及 e 本身。
等轴双曲线与对数：e 的“隐形关联”
下一次 e 可能出现的记载，同样存在争议。1647 年，圣文森特（Saint-Vincent）计算了等轴双曲线（rectangular hyperbola）下方的面积。但他有没有意识到这和对数的关联，至今还没有定论。就算他意识到了，也没什么理由让他明确接触到 e 这个数。
不过到了 1661 年，惠更斯（Huygens）确实理解了等轴双曲线和对数的关系。他专门研究了等轴双曲线 下方的面积与对数之间的联系。当然，e 有个关键性质：从 1 到 e 的等轴双曲线下方的面积等于 1。正是这个性质，让 e 成了自然对数的底数。但当时的数学家还没理解这一点，只是在慢慢接近这个认知。
同年，惠更斯还取得了另一个进展。他定义了一条曲线，自己称之为“对数曲线”，但按我们现在的说法，那其实是一条指数曲线（exponential curve），形式是 。从这个研究里，他又算出了 e 的常用对数，而且精确到了 17 位小数。不过，这个数值在他的著作里只是作为一个常数出现，没人把它当成某个数的对数——所以 e 这次还是离被认出来差一步。
对数研究的推进：e 仍“隐身”
之后关于对数的研究还在继续，这些工作虽然推动了对数的发展，却还是没让 e 以“e”的身份正式登场。1668 年，尼古拉斯·墨卡托（Nicolaus Mercator）出版了《对数术》（Logarithmotechnia），书中给出了 的级数展开式。也是在这本书里，墨卡托第一次把以 e 为底的对数称为“自然对数”（natural logarithms）。但 e 本身还是没露面，依旧“藏在角落”里。
e 的首次“发现”：从复利问题中来
有意思的是，既然之前关于对数的研究已经离认出 e 那么近了，e 第一次被“发现”时，却和对数毫无关系——而是来自对复利问题的研究。
1683 年，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）研究复利问题时，想算出“连续复利”情况下， 这个极限的值。他用二项式定理证明，这个极限在 2 到 3 之间。所以，我们可以把这看作是 e 的第一个近似值。而且如果把这个极限当作 e 的定义，那这也是数学史上第一次用极限过程来定义一个数。只不过伯努利当时完全没意识到，自己的研究和之前的对数研究有任何关联。
对数与指数的关联：谁先看清？
前面我们提到过，早期研究对数的人，没觉得对数和指数有什么关系。现在我们知道，从方程 能推出 （这里的对数以 a 为底），但这种思路也是后来才有的。其实这里的核心是“把对数当作一种函数”，而早期研究者只把对数看作“辅助计算的数字”。
看到这里，你可能会问：那为什么不直接从 e 第一次露面开始写它的历史呢？其实原因很简单：虽然我们前面说的那些研究都没明确认出 e，但一旦 e 被确定，人们就慢慢发现，那些早期研究其实都和 e 有关。站在后来的角度看，早期对数的发展，也成了理解 e 的重要部分。
指数函数的微积分：约翰·伯努利的突破
之前我们提到，早期研究者没把对数当作函数，这也给相关研究带来了一些阻碍。不过在 1697 年，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）出版了《指数微积分原理》（Principia calculi exponentialium seu percurrentium），算是开启了指数函数的微积分研究。这本书里计算了各种指数级数，还通过逐项积分得到了不少成果。
e 的符号：欧拉的选择
数学里很多符号都是欧拉（Euler）定下来的，所以 e 这个符号是他首创的，也没什么好意外的。不过有时候会有人说，欧拉用“e”是因为这是他名字（Euler）的首字母，这就有点牵强了。其实 e 可能都不是来自“指数（exponential）”的首字母，更可能是因为“e”是“a”之后的下一个元音——欧拉在工作中已经用“a”表示其他量了，所以就选了“e”。
不管原因是什么，e 这个符号第一次出现，是在 1731 年欧拉写给哥德巴赫（Goldbach）的一封信里。接下来几年，他又发现了很多关于 e 的性质，但直到 1748 年出版《无穷分析引论》（Introductio in Analysin infinitorum），才全面阐述了与 e 相关的理论。
