设（X，Y）是一个二维随机变量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称此数学期望为X与Y的协方差，并记为Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，特别有Cov(X,X)=)(XVar。从协方差的定义可以看出，它是X的偏差“X-E(X)”与Y的偏差“Y-E(Y)”的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下：·当Cov(X,Y)>0时，称X与Y正相关，这时两个偏差[X-E(X)]与[Y-E(Y)]同时增加或同时减少，由于E(X)与E(Y)都是常数，故等价于X与Y同时增加或同时减少，这就是正相关的含义。
       当Cov(X,Y)<0时，称X与Y负相关，这时X增加而Y减少，或Y增加而X减少，这就是负相关的含义。
       当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X与Y相互关联程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X表示人的身高，单位是米(m)，Y表示人的体重，单位是公斤(kg)，则Cov(X,Y)带有量纲(m·kg)。

首先，我们假定要研究的两个随机变量是X和Y。他们的联合密度函数是f(x,y)，X的边缘密度g(x)，Y的边缘密度是h(y)，他们的期望分别是EX和EY，方差是Var(X)和Var(Y)，协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY
      然后，题主问的是随机变量X和Y不相关却不一定独立？
      这里我们默认不相关指的是不线性相关，也就是协方差或者Pearson的线性相关系数为0
即Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0 或者说 EXY=EXEY。 
      PS：一般来说，概率和统计中不加说明的使用不相关都是指线性相关系数为0。此外，相关系数不为0的情况，各式各样的说法有很多，有的人会说这两个随机变量相关，有的人会说两个随机变量之间有一定的线性关系，显得不严谨，因为xjb乱用的人太多了，总之怎么舒服怎么来，讲清楚就ok。此外楼主说的是随机变量，随机变量的独立要想严格讨论一定要在概率的框架下面，此外随机变量uncorrelated的定义就是协方差为0，请自行wiki。在统计中，独立只出现在假设中，样本本身是不能用来讨论独立性的，度量样本相关性的量很多，除了Pearson的线性相关系数，还有Kendall’s tau，Spearman‘s rho。
      独立就是两个随机变量相互独立，等价于f(x,y)=g(x)h(y)，即联合密度函数等于两个边缘密度的乘积。对于离散的随机变量会稍有不同，Pr(X=x,Y=y)=Pr(X=x)Pr(Y=y) for all x and y。
       首先，很明确的告诉题主， 随机变量的 不相关 和 独立 在定义上就是不等价的。
独立是不相关的充分不必要条件，即独立可以推出不相关，反之不行。