§5-2行波的折射和反射

要求：理解并掌握利用彼得逊等效电路进行折射波的计算，理解几种特殊条件下的折射和反射，理解行波通过串联电感和并联电容时折射波的变化情况

§5-2-1行波的折射和反射

实际工程中分析过电压保护问题的时候，常常会遇到一条分布参数的长线路和波阻抗不同的另一条分布参数的长线路或者集中阻抗（如接地电阻）相连接的情况。不同波阻抗的连接点称为结点。若有一行波来到节点的时候，必然要发生能量的重新分配，即是会在结点上发生行波的折射与反射。

1.折射波与反射波

   假设具有不同波阻抗的线路连于A点，如下图7.2所示。

     

 

 

 

 

 

 

 

某一时刻，有一电压波u_1q沿着波阻抗为Z₁的线路入射，u_1q称为入射波或者Z₁上的前行波。

    u_1q到达A点之后，由于结点前后波阻抗不同，线路单位长度的电感和对地电容不同，而波在结点前后必须保持单位长度的电场能和磁场能相等的规律，所以A点要发生电流与电压的变化，即反射与折射。

（1）反射波

u_1q在A点产生的反射波是自A点沿Z₁的线路反向传播的，记为u_1f（i_if），它们又称为波阻抗为Z₁的线路上的反行波。

（2）折射波

   u_1q在A点产生的折射波是自A点沿Z₂的线路继续向前传播的，记为u_2q（i_2q），它们又称为波阻抗为Z₂的线路上的前行波。

2．折射波与反射波的计算

   假设Z₁，Z₂线路为无限长，或者说虽为有限长，但从Z₁首端的反射波或者Z₂末端的反射波未到达A点。由于在A点处只能有一个电压和电流值，即是说A点左侧和右侧的电压及电流是连续的。

则对A点左侧的Z₁线路而言有：

对A点右侧的Z₂线路而言有：

在A点处，有：

因此，将上式综合整理，有：

进一步整理，则有：

其中，，，，，

3、几种特殊条件下的折射和反射

虽然波的折射系数和反射系数是由两段波阻抗不同的导线推导出来的，但以上结论满足假设条件之后，同样适用于导线末端接有不同阻抗的情况。

（1）线路末端开路

线路末端开路，相当于，将代入上面的式子中，可以得到：

电压：；电流：

说明：线路末端开路的时候，行波在A点发生正的全反射，全反射的结果是使线路末端的电压幅值上升为行波幅值的2倍，电流变为零，全部磁场能变为电场能。

（2）线路末端短路

线路末端短路，相当于，将代入前面的式子中，则有：

电压：；电流：

说明：线路末端短路的时候，行波在A点发生负的全反射，负的全反射的结果是使得线路末端的电压幅值变为0，而电流幅值变为前行波的2被，全部电场能变为磁场能。

（3）线路末端接有电阻R

此时，相当于，将此条件代入上面的式子，则有：

电压：；

电流：

当时，行波不会发生折射。

（4）注意点

行波只有沿着分布参数电路入射的时候，才有可能发生反射。即是从分布参数电路到分布参数电路；从分布参数电路到集中参数电路，且在连接点处才可能发生反射。从集中参数电路到分布参数电路或者从集中参数电路到集中参数电路是没有反射的概念的。

4、计算折射波的等值电路

（1）彼得逊法则

1）彼得逊法则描述

波阻抗分别为Z₁和Z₂的两条线路相连的情况下，波阻抗为Z₁的线路上有一电压波向连接点A传播，为了求A点处发生折射和反射后，Z₂上的前行波（的折射波），可将A点左边的电路用一个等值电压源来代替，等值电源的电压为入射波的2倍，等值电源的内阻为A点左边线路的波阻抗Z₁。而A点右边的电路则用一个数值等于波阻抗Z₂的集中阻抗来表示。这就是彼得逊法则。

2）等值电路

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3）折射电压的计算

从以上等值电路可知，求得的折射电压为：

这与前面推导出的折射波与前行波的关系一致。

（2）注意点

只有满足以下两个条件才能用彼得逊法则：

1）波必须是从分布参数电路入射，且是流动的；

2）结点A两边的线路为无限长，或者虽为有限长，但来自另一端的反射波尚未到达A点。

 

实际电网中，常常会遇到分布参数电路与集中电感或者电容的各种方式的连接。例如改善功率因数的并联电容器，限制短路电流的串联电抗器等。由于并联电容或者串联电感的存在，将使得在线路上传播的行波发生幅值的改变和波形的改变。为什么呢？当行波通过电感和旁过电容的时候，由于电感上的电流不能突变，电容上的电压不能突变，这就造成了在不同时刻，其行波通过电感、旁过电容之后的折射系数与反射系数是不同的。即是导致行波在通过串联电感和旁过并联电容后发生波形的变化。

§5-2-2 行波通过串联电感和并联电容

1、无限长直角波通过串联电感

无限长直角波通过电感的示意图如下图7.4（a）所示：

     

 

 

 

 

 

 

 

 

图7.4 无限长直角波通过电感

无限长直角波通过波阻抗为Z₁的线路向A点传播，Z₁与电感连接于A点，波阻抗为Z₂的线路与电感连接于B点。

需要注意的是：从Z₁入射的前行波u_1q到达A点发生折射和反射；而到达A点后，u_1q的折射波到达B点后，还会不会发生反射呢？不会发生反射，因为串联的电感是集中参数元件。

要研究无限长直角波通过串联电感的情况，就必须要知道u_1q到达A点折射后的电压波形情况，即是要对Z₂上通过的前行波电压进行计算（这个前行波实际上就是u_1q的折射波）。

（1）折射电压的计算

折射电压的计算采用彼得逊等效电路，其前提条件就是：Z₂上的前行波的反射波未到达A点，Z₁首端的反射波也未到达A点。

1）彼得逊等效电路

将A点左边用等值电压源代替，u_2q就是u_1q的折射波，如图7.4（b）所示。

2）折射电压的计算

由其等效电路可以得到：

解之得：，

则有：

其中，α为Z₁与Z₂之间无串联电感时的前行波u_1q的折射系数。

由上式可知：

当t=0时，u_2q=0，由于电感中的电流不能突变，初始瞬间电感相当于开路的缘故，此时i_2q=0；

当时，，此时，Z₁和Z₂之间相当于串联电感短路。

另外，从折射波的表达式可以知道，u_1q在经过串联电感之后，在Z₂上传播的u_2q变成了一个指数波头，这个指数波头具有一定的陡度。

3）电压陡度

折射电压u_2q的电压陡度为：，

最大陡度出现在t=0的时候：

由此可知，折射电压波的最大陡度与波阻抗Z₂和L有关。L越大，则电压最大陡度越小。一般来说，作用到电气设备上的雷电波电压陡度越大，则电气设备上的过电压越高，降低入侵波的陡度对电力系统防雷保护有重要的意义。

（2）反射电压的计算

计算前行波u_1q在A点的发生折射和反射之后的反射电压u_1f可参考教材。

2、无限长直角波旁过并联电容

无限长直角波旁过电容的示意图如图7.5（a）所示：

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图7.5 无限长直角波旁过电容

（1）折射电压的计算

折射电压的计算采用彼得逊等效电路。

1）彼得逊等值电路

假设Z₁首端及Z₂末端的反射波未到达A点，而A点左边用等值电压源代替，则彼得逊等值电路如图7.5（b）所示：

2）折射电压的计算

由等效电路有：

由此可得：，

其中α为无电容并联时的u_1q的折射系数。

由上式可以知道：

当t=0时，u_2q=0，由于电容上的电压不能突变，因此A点电压为零；

当时，，此时，电容相当于开路，Z₁和Z₂之间相当于未并联电容。

以上式子还说明，因为有并联电容的存在，使得折射电压波u_2q变成一个指数波头的行波，使得折射电压上升较为缓慢。

3）电压陡度

有电容存在时，A点折射电压u_2q的电压陡度：

,

最大陡度在t=0时出现：

由此说明无限长直角波旁过并联电容时，最大电压陡度取决于电容C和波阻抗Z₁。而且电容C越大，最大电压陡度越小。

（2）反射电压的计算

前行波u_1q在A点发生折射和反射后，反射电压u_1f的计算可参考教材。

3、总结

由上述内容可知：

（1）当行波通过串联电感和旁过并联电容的时候，串联电感和并联电容都可以降低入侵波的陡度。

（2）但具体采用哪种措施，视两段导线（元件）的波阻抗，即Z₁和Z₂的大小而定，当Z₂较小的时候，采用串联电感的方式较好；当Z₁较大的时候，采用并联电容的方式。

（3）实际应用

1）对于波阻抗较大的设备（如发电机），通常采用并联电容的方式降低入侵波的陡度。即是在发电机的母线上装设并联电容器。如图7.6（a）所示。

2）对于配电站进线段防雷保护，利用电感线圈可降低入侵波的陡度。如图7.6（b）所示。