5-1 波沿均匀无损耗单导线的传播

要求：理解波动方程通解的物理意义，波过程的能量关系

在电力系统中的电气设备中，输电线路、变压器和电机的绕组一般需用分布参数电路来表示。当有能量突然加入到系统中或由于操作、故障使电路的参数或者结构发生变化的时候，系统内将出现过渡过程。集中参数电路的过渡过程分析在《电路》中学过，而分布参数电路的过渡过程将是本章分析的重点：即线路及绕组中的波过程。用分布参数处理问题，实质就是承认导线上的电压和电流不但是随时间发生变化的，而且也是随空间位置发生变化的。

1、波动方程及其通解

均匀无损单导线路实际上是不存在的。但是为了清晰地揭示线路波过程的物理本质和基本规律，暂时不考虑线路的损耗和导线间的影响，从理想的均匀无损单导线入手来探讨行波沿线路传播的过程是比较合适的。

无损单导线路中的波过程是针对单导线路中，忽略导线的一切损耗（包括导线电阻、地电阻、导线与地之间的漏导），并将导线用分布参数形式表示出其等值电路。即是将每一小段导线用其集中的电感和对地电容来表示。

设单位长度导线中对地电容为C₀，电感为L₀，其用分布参数来表示的等值电路如图7.1所示。

（1）波动方程

由其等值电路，考虑到电感的分压以及电容的分流，则有下面的式子：

          （1）

                           图7.1 均匀无损单导线路等值电路

由上式可以进一步得到：

           （2）

先将式（2）中的第一式对x再求导，第二式对t求导，可得到式（3）：

      （3）

再将式（2）中的第一式对t再求导，第二式对x求导，可得到式（4）：

  （4）

将式（3）与式（4）各自分别处理，则有：

   （5）

式（5）就称为均匀无损耗单导线的波动方程。

（2）波动方程的通解

对式（5）实施拉氏变换和延迟定理，可得到其通解：

   （6）

其中，v称为波速，；z称为波阻抗，

而表示u_q是的函数；表示u_f是的函数。即是说u_q、u_f既是时间t的函数，又是距离x的函数。

2、通解的物理意义

由波动方程的通解可以知道，无论是电压还是电流都由两部分组成。这两部分分别代表前行波与反行波。

（1）前行波

前行波是指式（6）中的这一项。

为什么是前行波呢？

当t=t₁，x=x₁的时候，；

当t=t₂，x=x₂的时候，；

则有：

由于t₂> t₁，则x₂> x₁，由此表明是沿着x的正方向前行的。

（2）反行波

同前行波的分析一样，可以分析得到式反行波，其前进方向与x的正方向相反。

结论：

由此可知，导线中的波过程为前行波与反行波的总和。但并不一定说存在前行波就存在反行波。只有当前行波发生发射之后才会产生反行波。

（3）电压波与电流波的关系

在式（6）中有：

电流前行波：

电流反行波：

由此说明：

①电压前行波与电流前行波的极性相同，其比值为正的波阻抗值；

②电压反行波与电流反行波的极性相反，其比值为负的波阻抗的值。

（4）前行波与反行波的独立性

重要的知识点：

前行波与反行波在线路中是相互独立的。当它们相遇的时候，线路的电压电流值是它们的算术求和或者相加。但相加之后的电压波和电流波的比值不再为波阻抗的值。即是说：。

（5）总结

均匀无损耗单导线中，波过程的基本规律为：

3、波过程的能量关系

（1）波过程的能量

波的传播过程中，电压波使导线对地电压升高的过程也就是电场能在导线对地电容上贮藏能量的过程；电流波通过导线的过程也就是磁场能在导线电感中贮藏能量的过程。

①导线单位长度的总能量

②单位长度导线中，波传播的时间为：

③单位长度导线中，导线获得的功率为：

将③中的式子与有功功率的表达式相比，可以发现波阻抗与一个数值相等的集中参

数电阻R相当。但这仅仅是从能量的观点来看，但实际上波阻抗与电阻R是存在区别的。

（2）波阻抗与电阻的区别

①电阻要消耗能量，波阻抗是贮藏能量而不是消耗能量。

②波阻抗表示同一方向传播的电压波与电流波的比值。当导线上同时存在前行波与反行波的时候，电压与电流的比值不再等于波阻抗，而电阻始终是流过其上的电压与电流的比值。

③电阻与材料的长度有关，而波阻抗只与线路单位长度的电感L₀与电容C₀有关。