课前学习任务

有了基，子空间中每个向量都可由基向量线性表出. 可以证明这种表示是唯一的，因此子空间中每个向量都被线性表示它的系数唯一确定. 这组系数整体就代表了这个向量，称为该向量的坐标. 这是“解析几何”基本思想的体现：把几何上的点（向量）与代数上的数组进行一一对应，从而使我们能够在几何与代数之间自如地转换. 所以从直观上看，子空间的基其实就是子空间的“坐标系”.

定义：设  是子空间  的基. 对每个向量 ，存在一组数  使得 . 我们称列向量  为  关于基  的坐标.

定理：对每个向量 ，关于基  的坐标是唯一的.

证明：假设还有  使得 ，则有

由于  线性无关，故 ，. 即唯一性成立.

课堂学习资料

课后学习任务

我们知道被誉为“近代科学始祖”的大哲笛卡尔是解析几何的创始人之一，那同学们知道笛卡尔创立解析几何的“初心”是为了什么吗？请听我国著名的数学史专家李文林教授为你娓娓道来：

• 笛卡儿的科学梦想（上）

• 笛卡儿的科学梦想（下）