课前学习任务

我们从低阶行列式的定义中能够发现一定规律：它涉及列标的排列，并且某些排列对应的项还得乘负一. 为进一步搞清这个规律，我们需要把排列分成奇偶两类，而分类的依据则是排列的“逆序数”.

请认真观看视频前6分钟，学习逆序数的概念，并正确完成以下测验.

课堂学习资料

从一个排列变到另一个，需交换元素位置. 因此将“交换任何一对元素的位置”作为改变排列的基本操作，称为“对换”. 显然利用多次对换可实现 n 级排列之间的相互转化.

而任何对换都可由多次“相邻对换”来做到. 这就为我们分析各种排列问题提供了一条基本思路，即先解决相邻对换的情形，再推广到一般对换. 这也充分体现了从特殊到一般和化归的思想方法.

接下来请继续观看视频，学习单次对换操作对排列奇偶性的影响，理解并掌握这一基本原理，尽可能达到灵活运用的程度.

分组讨论：所有 n 级排列的逆序数总和是多少？

课后学习任务

“数字华容道”是款老少皆宜的休闲益智小游戏，曾风靡一时. 电视节目《最强大脑》有一集将它作为选拔赛的项目之一，当时何猷君以二十几秒的成绩夺得该项比赛冠军.

同学们玩这款游戏的时候，如果碰到某一关怎么也过不了，是否会产生质疑：这一关该不会是无解的吧？这还真会发生，比如下面的  华容道就是无解的.

3	8	5
7	4	2
6	1

我们不可能通过移动数字方块将它变成如下“过关状态”：

1	2	3
4	5	6
7	8

你能说出其中的道理吗？其实用排列的逆序数就能证明这件事. 华容道的状态都可看成排列，比如将本例开局看作排列“38574261”，算算它的逆序数便知它是奇排列. 那么，移动数字方块就可能会改变相应排列.

但在游戏规则之下，排列的改变不是任意的. 经过分析可以发现，移动数字方块不会改变相应排列的奇偶性. 故在本例中，无论我们如何移动方块都达不到“过关状态”，因为它对应的是偶排列“12345678”.