本课程讨论的线性方程组都只含有限个未知元，矩阵都是有限行有限列，向量空间主要是有限维，这使得我们仅仅依靠纯代数的方法就能对线性问题作较深入的分析.  如果想把这些扩展到无限的情形，特别是考虑无限维的向量空间，那么单靠代数方法是不够的，通常还需衡量向量之间的接近程度，考察向量序列的收敛性，比较向量的大小等等，这些都属于“拓扑”问题.  另一方面，就算研究有限维向量空间，若能结合拓扑性质分析，也是非常有利的，或者能够简化纯代数方法，或者能够得出更深刻和精细的结果.  把线性代数方法和拓扑分析结合起来，重点研究无限维向量空间及其上的线性变换（习惯上叫做线性算子），就构成了“泛函分析”这一重要数学分支的主题.

其实无限维的向量空间并不罕见，比如本课程曾举出的多项式空间、连续函数空间、光滑函数空间等.  从历史角度来看，各类函数空间的研究推动了泛函分析的形成与发展.  在许多常见的函数空间上，我们可以很自然地衡量函数之间的接近程度.  比如对于闭区间 [a,b] 上的连续函数空间 C[a,b]，要想衡量两个函数 f 与 g 的接近程度，通常是定义 f-g 的“范数” ，可以将它定义为 f-g 在 [a,b] 上取得的最大值.  有了范数，就能谈论向量序列的极限， 自然可以通过  来定义.

更有意思的是，当你在向量空间 V 上规定了范数之后，你还能谈论 V 上线性变换之间的接近程度，因为可以自然地定义 V 上线性变换的范数.  设 T 是 V 上的连续线性变换（你确实可以谈论 V 上映射的连续性），规定

这便是 T 的范数.  从此之后我们就能讨论线性变换的接近程度，从而也能讨论线性变换序列的极限.  释放你的想象力吧，我们甚至可以谈论 T 的连续函数、可微函数，比如 

这里的 T 可是（无穷维空间上的）线性变换哦，而不是简简单单的实变量.

【建议阅读】

P.R. Halmos. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd Edition). Springer-Verlag, 1987.

（主要阅读其中最后一章“Analysis”及附录“Hilbert Space”）