1. 经过本课程的学习，同学们已经看到，我们经常在一个给定的数域上讨论问题，数域上可以做加减乘除四则运算，除此之外我们并未涉及数域的特殊性质。这就启发我们可以将数域的概念推广，只要一个集合上具有加减乘除四则运算，满足我们习以为常的基本运算律，就都可以当作广义的“数系”对待。这种抽象了的数系中的元素已经不是我们平常感知到的“数”，因此把这种广义数系称作“域”。研究“域”的分支叫做“域论”。
我们中学解二次方程、三次方程，自然是在数域上求解，解出来的是“数”。我们已经了解到从实数域扩大为复数域的主要目的就是为了保证代数方程有解，用行话来说就是保证多项式有根。所以解的存在性问题已经得到了圆满解决，但对于“如何求解”的算法问题，从古到今困扰了人类相当长的时间。
随着人类认知和思维水平的提高，数学家意识到，代数方程的求解过程，其实就是从包含多项式系数的最小数域出发，不断添加其中元素的方根，使得数域一层层扩大的过程。因此只要我们对域的扩张获得充足的知识，就能对代数方程求解这一经典问题给出解答。而且在此过程中发展出来的域论还顺带解决了困扰人类两千多年的古典数学难题：仅用尺规三等分角、将立方倍积、化圆为方。
强烈推荐读物： 冯承天. 从一元一次方程到伽罗瓦理论. 华东师范大学出版社, 2012.
2. 为了搞清楚域的扩张，青年伽罗瓦提出了“群”的概念，并用群的“可解性”衡量了代数方程是否能根式求解。后来，数学家发现群这个概念正好可以作为“对称性”的数学定义。简单地说，对称就是群，不同的对称就是不同的群，于是“对称”这一似乎是美学上的观念竟然可以用数学上的“群”进行演算了。对群进行深入、系统地研究，便形成了数学分支“群论”。关于对称，建议阅读大数学家 H. Weyl 所著：
对称在现代数学和物理中起着不可估量的重大作用，这主要是通过“群的表示论”体现的，不妨阅读物理学家写的群论讲义。物理学家最常用的群是“李群”，而李群很大程度上被它的“李代数”所控制。关于李代数及其表示理论，可参考：
阅读这本书原则上仅需高等代数的知识，但要读懂却不易，需要定力和毅力。
3. 同学们在本课程中已经接触到两大代数系统，一为多项式代数，二为矩阵代数，前者是“交换代数”的代表，后者为“非交换代数”的代表。将它们的共性抽取出来并适当地推而广之，就有了“环”的概念。对环的基础性质进行系统研究，便形成了“环论”，它把代数学历史上很多零散的重要结果统一起来了。在环论发展初期，著名的女数学家 E. Noether 居功甚伟。
环和前面说的群、域是密不可分的。关于它们的基础知识，不妨阅读：
此外强烈推荐： M. Artin. Algebra (2nd Edition). Pearson, 2010.
4. 推进代数学发展的另一动力来自于“数论”。简单说，数论是研究整数的一门学问。整数很简单也很复杂，比如素数的分布规律就难以捉摸，再比如哥德巴赫猜想很好懂却一直证明不了，而费马大定理花了三百多年才得证。数学家为研究整数动用了十八般武艺，比如用数学分析研究数论，就产生了“解析数论”这一分支；用代数研究数论，便产生了“代数数论”这个分支；用几何研究数论，形成了“算术代数几何”；此外还可用组合数学、动力系统、表示论、概率论等各种工具进行研究。其中代数数论为代数学的发展提供了丰富的源泉。
数论中有个经典方向，研究代数数和超越数。同学们在本课程多项式一章已经了解这些概念：复数当中，能作为一元整系数多项式之根的数称为代数数，否则称为超越数。那么诸如圆周率 和自然对数的底
，如何证明它们是超越数？这涉及到前面所说的一些代数知识，也涉及到数学分析（包括复分析）的知识，详情请阅读：
冯承天. 从代数基本定理到超越数：一段经典数学的奇幻之旅. 华东师范大学出版社, 2016.
5. 近世代数概观
