1. 酉空间是量子物理的基础数学结构。在量子力学中，物理状态是用酉空间（或者无限维版本的希尔伯特空间）中的单位向量来表示的，而状态的演变需要用酉变换来表达。“可观测量”则用埃尔米特（Hermite）变换来表示，它的特征值是实际能够测量得到的数值，而相应的单位特征向量是测量后系统“塌缩”所处的状态。
未进行观测的时候，系统可能处于“叠加态”，表示这种状态的单位向量是 Hermite 变换之单位特征向量的线性组合，而组合系数的模长平方体现了测量可能取到相应值的概率。总之，量子力学完全可以用酉空间或希尔伯特空间的理论进行严密的数学表达。
进一步阅读：量子力学背后的数学复杂吗？ （注意该文使用的是物理学的术语，和数学上的叫法有差异）
关于向量空间的“张量积”，可参考：看不懂量子？几张萌图揭秘张量积
2. 辛空间是理论力学的基础数学结构。一个力学系统的各种可能状态往往构成辛空间（或更复杂的辛流形乃至 Poisson 流形），辛空间中的每个点代表一个状态，而状态的演变就是辛空间中的曲线。“可观测量”都是辛空间上的函数，因为系统处于任一状态，我们都能观测到相应的数值。
经典力学关心的基本问题是，已知系统的初始状态，欲知系统如何演化，要给出系统的状态变化规律。一个系统的演变规律完全由它的“哈密顿量”（Hamiltonian）决定，它是辛空间上的一个函数。想要知道任一可观测量随时间的变化，只需求出它和哈密顿量之间的“泊松括号”（Poisson bracket）。总之，经典力学的基础部分完全可以用辛几何来表达，力学问题变成了几何问题，进一步甚至可以变成代数问题。
辛空间自身的同构可用“辛矩阵”表示，它的定义很简单。辛矩阵的行列式总是 1，这件事的证明有很多办法，每种办法都联系着一些更深刻的事情，建议阅读：
3. 推荐参考书： B.C. Hall. Quantum Theory for Mathematicians. Springer: New York, 2013.
