课前学习任务

我们中学都学习过非常注重演绎推理的“平面几何”，它的内容主要来自于两千多年前古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》，该书乃人类文明史上一大瑰宝. 《几何原本》中列出的几条公理可视为对我们生活的空间之建模. 从这些公理出发，经过严密的逻辑推理，得出一系列关于空间的丰富性质，大大加深了人类对客观世界的认知，也奠定了人类文明进一步发展的基础.

《几何原本》描述的空间称为欧几里得空间，空间中“点、线、面、体”的基本关系可以用向量空间来刻画，但空间的度量性质（如长度、夹角、面积、体积等）在一般向量空间中并未涉及. 所以我们需要在向量空间上再规定一个能反映度量性质的运算，使之能完整刻画欧几里得空间. 从理论的审美角度来说，我们规定的运算必须足够简洁和基本，与向量空间的固有运算能和谐相融. 由于向量空间刻画的是线性运算，而度量的结果必然是一个数，这就启发我们可以从所谓的“双线性函数”出发进行建模.

定义：设 V 是域  上的向量空间，映射  满足： 有

 (1)  ；

 (2)  .

则称  为空间 V 上的一个双线性函数.

对于 V 中任何两个向量 ，我们希望用  来表示它们的某种度量，显然  和  的地位应该是同等的，也就是说我们应该要求 . 总满足这种性质的双线性函数称为对称的. 现在假设 V 为实数域上向量空间， 为 V 上一个对称双线性函数. 我们想用  来规定 V 上的度量. 比如非零向量  的长度  自然要利用  来定义，然而考虑到伸缩关系 ，且 ，故应该把  定义为 ，并且要求 . 满足这种性质的  称为正定的.

给定实数域上的有限维向量空间，再赋予它一个正定的对称双线性函数（称为内积），那么这个空间就能度量长度、夹角、面积和体积等，能够描绘欧几里得空间的性质.  接下来请认真观看视频，学习内积与欧氏空间的定义及基本性质.

注：关于双线性函数的基本知识，可学习教材 8.1 节；关于立体空间中的内积（点积）与外积（叉积），不妨观看动画获取直观理解.

课后学习任务 

欧氏空间是关于我们所在宇宙的一个数学模型，它在小尺度空间内非常精确，但在大尺度上越来越偏离现实. 这表明存在与欧氏空间不同的空间模型和理论，一般统称为非欧几何. 物理学的发展也证明了我们生活的宇宙是非欧的，只有用非欧几何才能更精确地描述.

有人编写了非欧空间的 3D 动画引擎，我们不妨跟他游览下非欧世界的种种奇妙现象.