学了这一章我们知道，要研究线性变换，可以在向量空间中找一组基，把问题转化为线性变换的矩阵问题。为了使转化后的问题便于解决或便于计算，自然希望线性变换的矩阵越简单越好。这相当于说，任意给定一个矩阵，我们要找出一个足够简单的矩阵和它相似。如果这个问题得到解决，那么与之相关的很多问题都会迎刃而解。比如任意给定两个同阶方阵，我们分别找出与之相似的简单矩阵，通过对比简单矩阵是否相似就可推断原来两个矩阵是否相似。也就是说，按相似这一等价关系进行等价分类也就能得到解决了。
回想我们在本课程中学过矩阵间的几种等价关系——相抵、合同、相似，它们都有各自的产生背景和意义。我们知道合同关系反映了二次型是否能够通过非退化线性替换相互转化，相抵关系反映了矩阵是否等秩，而我们又已知晓，秩其实就是矩阵所代表的线性映射之像空间的维数。这就启示我们，相抵关系本质上反映的是两个矩阵是否能（在不同的基下）代表同一个线性映射（详情可观看视频）。
解决这三种等价关系的等价分类问题就构成了这门课的一条主线。相抵分类问题通过矩阵的初等变换理论得到了圆满解决，合同分类问题通过对称阵的行列成对初等变换理论也得到了满意的答案，余下相似分类问题是三者中最难也是最深刻的，它牵涉到不少《近世代数》的思想、方法和技术。要想对它进行深入理解，实践证明“主理想整环上有限生成模”的结构理论是一条正途，对此推荐阅读
在解决相似分类问题过程中体现出的最主要思想是“分而治之”：把复杂问题分解为一些尽可能简单的子问题，然后将子问题的解合并为原问题的解。这个思想当然也是我们这门课反复用到的，甚至也是人类认知世界的一个基本思想方法。针对相似分类问题，我们前面说根本办法是找出适当的基使线性变换的矩阵尽可能简单。如果一个线性变换是由一些子空间上的线性变换简单合成，那自然可以“各个击破”，先搞清每个子空间的线性变换，这就引出了不变子空间的概念。下个目标自然是希望线性变换在不变子空间上表现得够简单，最好像数乘那么简单，这就引出了（广义）特征子空间、循环子空间等概念，并牵涉到矩阵可对角化问题与极小多项式的概念，最终可以得出矩阵的相似标准形，解决相似分类问题。
解决相似分类问题的另一条路径是把之前提到的“主理想整环上的有限生成模”理论用“矩阵的初等变换”体现出来，重点是考虑特征矩阵的法式（Smith 标准形），由此牵涉到不变因子和 Frobenius 标准形（也叫有理标准形）。当然我们也可以在复数域这个广阔天地中讨论问题，于是不变因子可分解为一次式的乘积，自然地引出了初等因子的概念。相应地，矩阵就能分为一些基本模块（Jordan 块），从而得出复数域上的相似标准形，即所谓的 Jordan 标准形。
【参考文章】
