课前学习任务

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖问题为例引入的，指这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …… 若以  表示该数列的第 n 项，则可看出

类似这样的“递推关系”是很常见的. 斐波那契数列在物理、化学、生物等领域都可找到应用，为此美国数学会还出版了名为《斐波纳契数列季刊》的数学杂志，专门刊载这方面的研究成果.

一个自然而迫切的问题是如何求出斐波那契数列的通项公式. 从递推关系出发，用线性变换的视角看待它，你就会发现一种解法. 首先，全体数列形成的集合上可以自然地定义数乘和加法，成为向量空间. 若令 ，则  是数列空间上的一个线性变换. 用 表示数列空间上的恒等变换，则斐波那契数列的递推关系其实就是

要想数列  满足上式，只需令它满足  或 ，也即  或 . 容易解这样的方程，比如对 ，可得解 . 类似可知  是  的一个解. 由于  是线性变换，故以上得到的解其实属于这个变换的核空间，从而这些解的线性组合仍为  的解. 因此可设斐波那契数列的通项形如 ，再由  及  解得 . 于是斐波那契数列的通项公式为

从以上求解过程可以看出，成功的关键在于把问题转化成了求解形如  的简单方程. 这就引出了特征值和特征向量的概念： 的非零解称为特征向量，而  称为特征值. 接下来请认真观看视频，学习特征值与特征向量的精确定义及基本知识.

延伸阅读：解常係數線性微分方程和遞推關係的新方法－秦九韶和亥維賽的遺產

课堂学习资料

课后学习任务

1. 我们已经看到，为计算矩阵的特征值，需要求特征多项式的根. 而高次多项式一般无法求出精确根，我们只能求它的近似值. 特别是在很多应用中，需且仅需确定特征值的大致范围，而 Gershgorin 定理就是处理这类问题的一个基本工具. 请学习掌握这个定理，并完成以下测验.

2. 你想知道 Google 搜索引擎如何对检索到的网页排序吗？其实它的主要原理与“正矩阵”的特征向量有关（也可以阅读这个英文介绍）.

3. 正弦函数之和一定是周期函数吗？要讲清楚这个问题可并不简单，不过从特征值和特征向量的视角去看，就能迎刃而解了.