教学目的

张量分析是深入学习现代连续介质力学必备的数学基础，也是学习现代力学和现代数学的必备基础，此处的“现代”表示对应领域的新进发展，表现了知识的现代化。“张量分析与微分几何基础”课程，主要提供了欧氏空间中体积、曲面、曲线流形上的张量场场论（微分学与积分学）：力学方面，可以对应地建立体积、曲面、曲线流形的有限变形理论/连续介质力学；数学方面，内在地为微分流形上的微积分提供了实质基础，目前对于流形的刻画限于一个坐标卡，引入多个坐标卡就自然地过程至微分流形。张量代数学方面，主要基于初等的置换运算引入置换算子，基于置换算子引入外积运算：力学方面，基于外积运算研究仿射量/二阶张量的特征问题、各项同性张量映照的表达式；数学方面，微分流形上核心的外微分运算本质性地基于外积运算。本课程的相关知识提供了实质性的基础。

本课程不仅广泛适用于力学、航空航天、机械、物理学等专业，相关方法直接服务于主要的专业课程，而且也可供经管类、数据类等专业的学生修读，可作为微分流形上微积分的基础。

基本内容

“张量分析与微分几何基础”课程，主要包括三部分内容：（一）欧氏空间中体积、曲面、曲线流形上的张量场场论（微分学与积分学）。张量场的微分学，主要内容为局部基的确定、标架运动方程与对应的几何量、张量场相对于参数的一阶与二阶变化率。值得指出，本课程基于知识内在的相似性/通识性，以对比的形式平行地建立体积、曲面、曲线上的张量场的微分学。张量场的积分学，主要内容为曲线、曲面、体积上积分的转换关系，本课程提供的方法原则上可以实现所有的转换需求。本部分也包括体积、曲面流形上张量恒等式的推导方法；体积流形上张量场的非完整基理论及其应用，基于曲面主方向的正交系的非完整基理论及其应用。（二）张量代数学方面，基于多重线性函数引入张量的定义并获得其表达式，基于基的转换关系获得张量分量的转换关系。基于置换运算，引入置换算子，从而定义对称化算子与反称化算子，以此引入外积运算。本课程基于外积运算，研究仿射量/二阶张量的特征问题、各项同性张量映照的表达式。（三）张量赋范线性空间上的微分学，主要基于一般赋范线性空间上的微分学，建立张量映照的微分学。

本课程注重基于应用需求建立方法，故相关知识具有广泛的应用性；注重在方法的建立过程中引入与澄清几何量。修读本课程，仅需要具有较好的微积分基础，特别是高维微积分的有关思想与方法；线性代数方面仅需最一般的基础。

适用范围

所有对微积分进一步理论及应用有兴趣的同学；本课程也将为有志趣于进一步研习现代几何学、非线性动力系统、连续介质力学等现代数理知识知识体系，铺垫坚实的基础。按任课教师认识，本课程涉及的内容十分有益于自然科学、技术科学、数据类以及经管类等诸多专业的深入学习与研究。

本课程学习需要以微积分与线性代数作为基础，一般理工类专业的相关课程都能符合要求。