1. 能够阐述布尔代数的四个运算符。

2. 能用构造真值表。
   

19世纪早期，英国数学家乔治·布尔（George Boole，1815－1864）突发奇想：人的思想能不能用数学表达？

此前，数学只用于计算，没有人意识到，数学还能表达人的逻辑思维。

两千年来，哲学书都是用文字写的。比如，最著名的三段论：

所有人都是要死的， 

苏格拉底是人， 

所以，苏格拉底是要死的。

乔治·布尔认为，这种推理可以用数学表达，也就是说，哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。

乔治·布尔发明的工具，叫做"集合论"（Set theory）。他认为，逻辑思维的基础是一个个集合（Set），每一个命题表达的都是集合之间的关系。

交集可以用逻辑与（and）、逻辑乘（X）、或点积（●）表示；

并集可以用逻辑或（or）、逻辑加（+）表示。

差集可以用逻辑非（not）、逻辑减（-）、逻辑反（￢）表示。

异或可以用逻辑异或（Xor、⊕）表示。

比如，所有人类组成一个集合R，所有会死的东西组成一个集合D。

所有人都是要死的

集合论的写法就是：R X D = R

上面这个式子的意思是，R与D的交集就是R。

同样的，苏格拉底也是一个集合S，这个集合里面只有苏格拉底一个成员。

苏格拉底是人

// 等同于

S X R = S

上面式子的意思是，苏格拉底与人类的交集，就是苏格拉底。

将第一个式子代入第二个式子，就得到了结论。

S X (R X D) 

= (S X R) X D

= S X D

= S

这个式子的意思是，苏格拉底与会死的东西的交集，就是苏格拉底，即苏格拉底也属于会死的东西。

前面的三段论比较容易，一眼就能看出结论。但是，有些三段轮比较复杂，不容易立即反应过来。

请看下面这两句话。

"鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。"

你能一眼得到结论吗？

鸭嘴兽 X 卵生 = 鸭嘴兽

鸭嘴兽 x 澳洲 = 鸭嘴兽

将第一个式子代入第二个，就会得到：

鸭嘴兽 X 卵生 x 澳洲 = 鸭嘴兽

// 相当于

卵生 x 澳洲 = 鸭嘴兽 + 其他

因此，结论就是"有的卵生动物是澳洲的动物"，或者"有的澳洲的动物是卵生动物"。

由此可见，集合论可以帮助我们得到直觉无法得到的结论，保证推理过程正确，比文字推导更可靠。

既然命题可以用集合论表达，那么逻辑推导无非就是一系列集合运算。

由于集合运算的结果还是集合，那么通过判断个体是否属于指定集合，就可以计算命题的真伪。

一名顾客走进宠物店，对店员说："我想要一只公猫，白色或黄色均可；或者一只母猫，除了白色，其他颜色均可；或者只要是黑猫，我也要。"

这名顾客的要求用集合论表达，就是下面的式子。

公猫 X (白色 + 黄色) 

+ 母猫 X 非白色

+ 黑猫

店员拿出一只灰色的公猫，请问是否满足要求？

布尔代数规定，个体属于某个集合用1表示，不属于就用0表示。 灰色的公猫属于公猫集合，就是1，不属于白色集合，就是0。

上面的表达式变成下面这样。

1 X (0 + 0) 

+ 0 X 1

+ 0

= 0

因此，就得到结论，灰色的公猫不满足要求。

这就是布尔代数：计算命题真伪的数学方法。

布尔代数的运算法则与集合论很像。

交集的运算法则如下：

1 X 1 = 1

1 X 0 = 0

0 X 0 = 0

并集的运算法则如下：

1 + 1 = 1

1 + 0 = 1

0 + 0 = 0

集合论可以描述逻辑推理过程，布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人类的推理和判断，因此就变成了数学运算。

20 世纪初，英国科学家香农指出，布尔代数可以用来描述电路，或者说，电路可以模拟布尔代数。于是，人类的推理和判断，就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。

布尔运算符，又称为逻辑运算符，主要有与、或、非、异或。

布尔运算规则：与、或、异或是双目运算

非运算是单目运算

含有n个命题变项的公式A共有2^个取值。将公式A在所有赋值之下取值情况列成表，称为A的真值表。

构造步骤：

⑴ 找出公式中所含的命题变项，并列出所有可能的取值。

⑵ 按低到高的顺序写出各层次。

⑶ 对应各取值，计算公式各层次的值，直到计算出公式的值。

例如，求命题公式 (p∧￢q)→r 的真值表

⑴ 找出公式中所含的命题变项，并列出所有可能的取值。公式中变项有三项分别是p、q、r。

⑵ 按低到高的顺序写出各层次。三项，共8种可能情况。

⑶ 对应各取值，计算公式各层次的值，直到计算出公式的值。