权

1. 概念

当测量是在不同的观测条件下进行时，观测结果的中误差各不相同，各观测值便具有不同的可靠性。在求观测量的最可靠值时，就不能象等精度观测那样，取简单的算术平均值。精度愈高，可靠程度愈大，在最可靠值计算中所占的比例数也愈大。这个比例数在测量上用权来表示。

所谓权，就是一个表示观测值可靠程度的相对性数值，通常用P表示。

对于观测值而言，中误差越大，观测值精度越低，其权越小；中误差越小，观测值精度越高，其权越大。

定义权与观测值的中误差的平方成反比，即：           

式中μ² 是任意常数，可认为是各观测值相互比较的共同标准。在一组观测中，μ是一定常数。

设一组观测值为li（i＝1，2，…，n），其中误差为mi（i＝1，2，…，n）,则：

通常是以任意一观测值的权为标准，求取其他观测值的权。以P₁为标准，并令P₁=1，即μ²=m₁，则：

等于1的权称为单位权,权等于1的观测值中误差称为单位权中误差，如上式：P₁为单位权，m₁为单位权中误差。

2. 权的确定

（1）水准测量

设水准测量每公里的高差中误差为m₀，各水准路线长度分别为L₁，L₂，…，L_n 。

根据误差传播定律得：

设水准路线每测站的高差中误差为m₀，各水准路线的测站数分别为n₁，n₂，…，n_n 。

同理可得：

结论：水准测量中，可以取不同水准路线长度 L 的倒数或测站数 n 的倒数来定义权。

（2）距离测量

距离丈量的中误差与距离长度的平方根成正比，同样可以证明距离丈量的权与距离值成反比，即：

结论：距离丈量中，可以取距离 L 的倒数来定义权。

（3）角度测量

角度测量的中误差与测回数的平方根成反比，同样可以证明角度测量的权与测回数成正比，即：

结论：角度测量中，可以取测回数来定义权。  

非等精度观测的最可靠值

非等精度观测时，考虑到各观测值的可靠程度，用加权平均值作为观测的最终结果。

加权平均值是非等精度观测的最可靠值。

设对某量进行了n 次非等精度观测得：

观测值：l1，l2，…，ln

中误差：m1，m2，…，mn

权：P1，P2，…，Pn

其观测值的加权平均值为：                       

非等精度观测的中误差

非等精度观测值的最可靠值（加权平均值）L 的中误差为：

式中：μ 为单位权中误差；[P]为各观测值的权的和。

单位权中误差为：

式中：P 为各观测值的权；v为各观测值改正数；n为观测值的个数。

【例1】对某一角度，采用不同测回数，进行了4次观测，其观测值见下表，求该角度的观测结果及其中误差。

【解】   

取 C =1，则：P₁= 6，P₂= 5，P₃= 4，P₄= 3

最可靠值：              

改正数：v₁= +5″，v₂= -3″，v₃= 0，v₄= -5″

单位权中误差：

最可靠值中误差：

该角的最后观测结果为73°44′59″±2.2″  。

【例2】如下图所示，1，2，3点为已知高等级水准点，其高程误差很小，可以忽略不计。为求P点高程，用DS3水准仪独立观测了三段水准路线的高差,求P点高程的最可靠值与中误差。

【解】 都是用DS3水准仪观测，可认为每站高差观测中误差相等。

取 C =1，则：

根据 H₁，H₂，H₃求出的 P 点高程分别为：

H_P1=21.718+5.368=27.086m

H_P2=18.653+8.422=27.075m

H_P3=14.165+12.914=27.079m

因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计，所以求出的三个高差观测值的中误差 m1，m2，m3 就等于用该高差观测值计算出的 P 点高程值HP1，HP2，HP3的中误差。

P 点高程的加权平均值为：

改正数：v₁= -7mm，v₂= +4mm，v₃=0

单位权中误差：

最可靠值中误差：