误差传播定律

测量中，有些未知量不能直接观测测定，需由直接观测量计算求出。

例如：水准仪一站观测的高差——h = a-b

三角高程测量初算高差——h′ = Ssinα

直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差，函数的误差由直接观测量的误差传播过来。

所求未知量的中误差与观测值的中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

线性函数的误差传播定律

函数——Z=f1X1+f2X2+…+fnXn

系数——f1， f2，…， fn

误差独立观测量——X1，X2，…， Xn

观测量中误差——m1， m2，…， mn

函数中误差：

【例1】

在三角形ABC 中，直接观测了∠A和∠B，其中误差mA=±3″，mB=±4″。求∠C的中误差。

【解】

等精度观测量的算术平均值的中误差：

等精度独立观测值：l1，l2，…，ln

算术平均值：

每个观测量的中误差：m

算术平均值的中误差：

结论：

 算术平均值的中误差为观测值中误差的，适当增加观测次数可以提高算术平均值的精度。                 

非线性函数的误差传播定律

设一函数

Z=F(X1，X2，…，Xn)

X1，X2，…，Xn——可直接观测的未知量

Z——待求的未知量

各观测值的中误差——m1，m2，…，mn

对函数求全微分

所求未知量的中误差为：

【例2】已知测量斜边S=50.00±0.01m（相对误差1/5000），测得倾角α=15°00′±1′，求水平距离D及中误差mD。

【解】根据题意

对D=S·cosα 取全微分得：

中误差：

相对误差：

注：当角度很小时，常用弧度来表示；度、分、秒对应的弧度单位为弧度（ρ）、弧度分（ρ′）、弧度秒（ρ″）。