相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由阿尔伯特·爱因斯坦创立，依据研究的对象不同分为狭义相对论和广义相对论。相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。

狭义相对论和广义相对的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯性参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”、“四维时空”、“弯曲时空”等全新的概念。它发展了牛顿力学，推动物理学发展到一个新的高度。

1905年5月的一天，爱因斯坦与一个朋友贝索讨论这个已探索了十年的问题，贝索按照马赫主义的观点阐述了自己的看法，两人讨论了很久。突然，爱因斯坦领悟到了什么，回到家经过反复思考，终于想明白了问题。第二天，他又来到贝索家，说：谢谢你，我的问题解决了。原来爱因斯坦想清楚了一件事：时间没有绝对的定义，时间与光信号的速度有一种不可分割的联系。他找到了开锁的钥匙，经过五个星期的努力工作，爱因斯坦把狭义相对论呈现在人们面前。 

1905年6月30日，德国《物理学年鉴》接受了爱因斯坦的论文《论动体的电动力学》，在同年9月的该刊上发表。这篇论文是关于狭义相对论的第一篇文章，它包含了狭义相对论的基本思想和基本内容。这篇文章是爱因斯坦多年来思考以太与电动力学问题的结果，他从同时的相对性这一点作为突破口，建立了全新的时间和空间理论，并在新的时空理论基础上给动体的电动力学以完整的形式，以太不再是必要的，以太漂流是不存在的。 

1907年，爱因斯坦撰写了关于狭义相对论的长篇文章《关于相对性原理和由此得出的结论》，在这篇文章中爱因斯坦第一次提到了等效原理，此后，爱因斯坦关于等效原理的思想又不断发展。他以惯性质量和引力质量成正比的自然规律作为等效原理的根据，提出在无限小的体积中均匀的引力场完全可以代替加速运动的参照系。爱因斯坦并且提出了封闭箱的说法：在一封闭箱中的观察者，不管用什么方法也无法确定他究竟是静止于一个引力场中，还是处在没有引力场却在作加速运动的空间中，这是解释等效原理最常用的说法，而惯性质量与引力质量相等是等效原理一个自然的推论。 

1915年11月，爱因斯坦先后向普鲁士科学院提交了四篇论文，在这四篇论文中，他提出了新的看法，证明了水星近日点的进动，并给出了正确的引力场方程。至此，广义相对论的基本问题都解决了，广义相对论诞生了。

1916年，爱因斯坦完成了长篇论文《广义相对论的基础》，在这篇文章中，爱因斯坦首先将以前适用于惯性系的相对论称为狭义相对论，将只对于惯性系物理规律同样成立的原理称为狭义相对性原理，并进一步表述了广义相对性原理：物理学的定律必须对于无论哪种方式运动着的参照系都成立。 

传统上，在爱因斯坦刚刚提出相对论的初期，人们以所讨论的问题是否涉及非惯性参考系来作为狭义与广义相对论分类的标志。随着相对论理论的发展，这种分类方法越来越显出其缺点——参考系是跟观察者有关的，以这样一个相对的物理对象来划分物理理论，被认为较不能反映问题的本质。一般认为，狭义与广义相对论的区别在于所讨论的问题是否涉及引力（弯曲时空），即狭义相对论只涉及那些没有引力作用或者引力作用可以忽略的问题，而广义相对论则是讨论有引力作用时的物理学的。用相对论的语言来说，就是狭义相对论的背景时空是平直的，即四维平凡流型配以闵氏度规，其曲率张量为零，又称闵氏时空；而广义相对论的背景时空则是弯曲的，其曲率张量不为零。

狭义相对论建立在如下的两个基本公设上：

1．物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式。

2．在所有的惯性系中，光在真空中的传播速度中具有相同的值C。

第一个叫做爱因斯坦相对性原理。它是说：如果坐标系K'相对于坐标系K作匀速运动而没有转动，则相对于这两个坐标系所做的任何物理实验，都不可能区分哪个是坐标系K，哪个是坐标系K′。

第二个原理叫光速不变原理，它是说光（在真空中）的速度c是恒定的，它不依赖于发光物体的运动速度。

从表面上看，光速不变似乎与相对性原理冲突。因为按照经典力学速度的合成法则，对于K′和K这两个做相对匀速运动的坐标系，光速应该不一样。爱因斯坦认为，要承认这两个假设没有抵触，就必须重新分析时间与空间的物理概念。

可以表述为光子在时空中的世界线总是类光的。也正是由于光子有这样的实验性质，在国际单位制中使用了“光在真空中1/299，792，458秒内所走过的距离”来定义长度单位“米”（米）。光速不变原理是宇宙时空对称性的体现。

伽利略的相对性原理指出，在一切惯性系中，力学规律是相同的。经典的时空观指出，在不同的惯性系之间，时空坐标的变换遵循伽利略变换。

所谓时空观，即是有关时间和空间的物理性质的认识。伽利略变换是力学相对论原理的数学描述。它集中反映了经典力学的绝对时空观。

1．时间间隔与惯性系的选择无关。若有两事件先后发生，在两个不同的惯性系中的观测者测得的时间间隔相同。

2．空间间隔与惯性系的选择无关；空间任意两点之间的距离与惯性系的选择无关。

人们可以看出，在经典力学中，物体的坐标和速度是相对的，同一地点也是相对的。但时间、长度和质量这三个物理量是绝对的，同时性也是绝对的。这就是经典力学的绝对时空观。

经典力学中的速度合成法则实际依赖于如下两个假设：

1．两个事件发生的时间间隔与测量时间所用的钟的运动状态没有关系。

2．两点的空间距离与测量距离所用的尺的运动状态无关。

爱因斯坦发现，如果承认光速不变原理与相对性原理是相容的，那么这两条假设都必须摒弃。这时，对一个钟是同时发生的事件，对另一个钟不一定是同时的，同时性有了相对性。在两个有相对运动的坐标系中，测量两个特定点之间的距离得到的数值不再相等，距离也有了相对性。

如果设K坐标系中一个事件可以用三个空间坐标x、y、z和一个时间坐标t来确定，而K′坐标系中同一个事件由x′、y′、z′和t′来确定，则爱因斯坦发现，x′、y′、z′和t′可以通过一组方程由x、y、z和t求出来。两个坐标系的相对运动速度和光速c是方程的唯一参数。这个方程最早是由洛仑兹得到的，所以称为洛仑兹变换。

1887年，阿尔贝特·迈克尔逊（后来成为美国第一个物理诺贝尔奖获得者）和爱德华·莫雷在克里夫兰的卡思应用科学学校进行了非常仔细的实验。目的是测量地球在以太中的速度（即以太风的速度）。

如果以太存在，且光速在以太中的传播服从伽利略速度叠加原理：

假设以太相对于太阳静止，实验坐标系相对于以太以公转轨道速度u沿光线2的方向传播，由于光在不同的方向相对地球的速度不同，达到眼睛的光程差不同，产生干涉条纹。从镜子M反射，光线1的传播方向在MA方向上，光的绝对传播速度为c，地球相对以太的速度为υ，光线1完成来回路程的时间为2d/c，光线2在到达M2和从M2返回的传播速度为不同的，分别为c+υ和c－υ，完成往返路程所需时间为：

 .光线2和光线1到达眼睛的光程差为：

干涉仪整体可以旋转，旋转的过程中，以太速度方向与实验参考系中光线2的夹角改变，从而使得速度分量u改变，旋转90°时，光线1和2交换了状态，光程差可以增加一倍。：

移动的条纹数为ΔL/λ。

实验中用钠光源，λ=5.9×10－7m；

地球的公转轨道运动速率为：υ≈10－4c；干涉仪静止参考系下的光程2d=11m，

应该移动的条纹为：ΔN=2×11×（10^－4）/λ=0.37。

迈克尔逊和莫雷将干涉仪装在十分平稳的大理石上，并让大理石漂浮在水银槽上，可以平稳地转动。并当整个仪器缓慢转动时连续读数，这时该仪器的精确度为0.01% ，即能测到1/100条条纹移动，用该仪器测条纹移动应该是很容易的。迈克尔逊和莫雷设想：如果让仪器转动90度，光通过OM1、OM2的时间差应改变，干涉条纹要发生移动，从实验中测出条纹移动的距离，就可以求出地球相对以太的运动速度，从而证实以太的存在。但实验结果是：未发现任何条纹移动。在此之后的许多年，迈克尔逊-莫雷实验又被重复了许多次，所得都是零结果。

同时的相对性：据狭义相对性原理，惯性系是完全等价的，因此，在同一个惯性系中，存在统一的时间，称为同时性，而相对论证明，在不同的惯性系中，却没有统一的同时性，也就是两个事件（时空点）在一个惯性系内同时，在另一个惯性系内就可能不同时，这就是同时的相对性，在惯性系中，同一物理过程的时间进程是完全相同的，如果用同一物理过程来度量时间，就可在整个惯性系中得到统一的时间。在广义相对论中可以知道，非惯性系中，时空是不均匀的，也就是说，在同一非惯性系中，没有统一的时间，因此不能建立统一的同时性。

长度的相对性：如图8.5所示，有两个参考系S和S'。有一根棒A'B'固定在x'轴上，在S'系中测得它的长度为l'。为了求出它在S系中的长度l，人们假想在S系中某一时刻t1，B'端经过x1，在其后t1+Δt时刻A'经过x1。由于棒的运动速度为u。在t1+Δt这一时刻B'端的位置一定在x2=x1+uΔt处。根据上面所说长度测量的规定，在S系中棒长就应该是l=x2-x1=uΔt 。

再看Δt，它是B'端和A'端相继通过x1点这两个事件之间的时间间隔。由于x1是S系中一个固定地点，所以Δt是这两个事件之间的原时。从S'系看来，棒是静止的，由于S系向左运动，x1这一点相继经过B'端和A'端（见图8.6）。由于棒长为l'，所以x1经过B'和A'这两个事件之间的时间间隔Δt'，在S'系中测量

再看Δt'，它是不同地点先后发生的两个事件的时间间隔，它是两地时，根据原时和两地时的关系，有

将此式代入前式即可得：

空间的量度与观察这一量度的参照系有关。所以，在飞船上的尺和地球上的尺是不会一样的。通过火车相对于月台的长度问题的讨论，人们得知：沿运动方向固定在高速运动飞船上的尺，如果由地球上的人来观测，就比飞船上的人观测的长度短。至于长度收缩多少，是与飞船飞行的速度，也就是两个参照系之间的相对速度有关。

相反，固定在地球上的尺的长度，若由飞船上观察者来观测的话，则沿运动方向的长度不是伸长，而是缩短。

由此，得出结论：当一个物体对于某参照系是静止的时候，就这个参照系来看，物体长度最大。沿垂直于运动方向时，长度则不发生变化。

时间间隔的相对性：根据爱因斯坦1905年提出的狭义相对论，处于快速运动状态的表，与构造完全相同、指针在动但表壳本身 却处于静止状态的表相比，快动表的指针转动得慢，也就是时间流逝得慢，专业说法是“时间膨胀”效应。

（注：“γ”为相对论因子，

 ，

 ，u为惯性系速度。）

1．基本原理：

（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。

（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

（此处先给出公式再给出证明）

2．洛仑兹坐标变换：

3．速度变换：

4．尺缩效应：

 或

5．钟慢效应：

 或

6．光的多普勒效应：

（光源与探测器在一条直线上运动。）

7．动量表达式：

 ，即

8．相对论力学基本方程：

9．质能方程：

10．能量动量关系：

（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）

1．由实验总结出的公理，无法证明。

2．洛仑兹变换：

设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。

可令

 （1）.

又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有

 ，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。

故有

 （2）.

对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得

 （3）.

 （4）.

将（2）代入（1）可得：

 ，即

 （5）.

（1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有

 ，

 。

代入（1）（2）式得：

 ，

 。两式相乘消去t和T得：

 .

将γ反代入（2）（5）式得坐标变换：

3．速度变换：

同理可得V（y），V（z）的表达式。

4．尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由

 得：

 ，又△t=0（要同时测量两端的坐标），则

 ，即：

 ，

 。

5．钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，

 ，故

 ，又

 ，（要在同地测量），故

。

（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）

6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：

 ）

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t（b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为

 （1）.

探测器开始接收时刻为

 ，最终时刻为

 ，则

 （2）.

相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

 （3）.

由以上三式可得：

 .

7．动量表达式：（注：

 ，此时，

 因为对于动力学质点可选自身为参考系，

 ）

牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，

 ，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x，y，z）新坐标系中为（X，Y，Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时

 莫属）就可以修正速度的概念了。即令

 为相对论速度。牛顿动量为

 ，将v替换为V，可修正动量，即

 。定义

 （相对论质量）则

 .这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

8．相对论力学基本方程：：

由相对论动量表达式可知：

 ，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

9．质能方程：

即

10．能量动量关系：

 ，

 ，

 ，

1．公理，无法证明。

2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，

dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2 （1）.

则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y，z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+（ict）sinφ

得：tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ（x-ut）

Y=y

Z=z

T=γ（t-ux/c2）

3．4．5．6．略。

7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr（1-v2/c2），下式中dt=γdτ）

令r=（x，y，z，ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=（γv，icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=（γmv，icγm）=（Mv，icM）

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力）

四维加速度：ω=/dτ=（γ4a，γ4iva/c）

则f=mdV/dτ=mω

8．略。

9．质能方程：

fV=mωV=m（γ5va+i2γ5va）=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ2mFv+γic（dM/dt）（icγm）=0（F，v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式））

故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c2∫dM，即：Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

爱因斯坦在1905年发表了一篇探讨光线在狭义相对论中，重力和加速度对其影响的论文，广义相对论的雏型就此开始形成。1912年，爱因斯坦发表了另外一篇论文，探讨如何将重力场用几何的语言来描述。至此，广义相对论的运动学出现了。到了1915年， 爱因斯坦引力场方程发表了出来，整个广义相对论的动力学才终于完成。

1915年后，广义相对论的发展多集中在解开场方程式上，解答的物理解释以及寻求可能的实验与观测也占了很大的一部份。但因为场方程式是一个非线性偏微分方程，很难得出解来，所以在电脑开始应用在科学上之前，也只有少数的解被解出来而已。其中最著名的有三个解：史瓦西解（the Schwarzschild solution （1916））、 雷斯勒——诺斯特朗姆解、克尔解。 

在广义相对论的实验验证上，有著名的三大验证。在水星近日点的进动中，每百年43秒的剩余进动长期无法得到解释，被广义相对论完满地解释清楚了。光线在引力场中的弯曲，广义相对论计算的结果比牛顿理论正好大了1倍，爱丁顿和戴森的观测队利用1919年5月19日的日全食进行观测的结果，证实了广义相对论是正确的。再就是引力红移，按照广义相对论，在引力场中的时钟要变慢，因此从恒星表面射到地球上来的光线，其光谱线会发生红移，这也在很高精度上得到了证实。从此，广义相对论理论的正确性被得到了广泛地承认。 

另外，宇宙的膨胀也创造出了广义相对论的另一场高潮。从1922年开始，研究者们就发现场方程式所得出的解答会是一个膨胀中的宇宙，而爱因斯坦在那时自然也不相信宇宙会来涨缩，所以他便在场方程式中加入了一个宇宙常数来使场方程式可以解出一个稳定宇宙的解出来。但是这个解有两个问题。在理论上，一个稳定宇宙的解在数学上不是稳定。另外在观测上，1929年，哈勃发现了宇宙其实是在膨胀的，这个实验结果使得爱因斯坦放弃了宇宙常数，并宣称这是我一生最大的错误（the biggest blunder in my career）。

但根据最近的一形超新星的观察，宇宙膨胀正在加速。所以宇宙常数似乎有再度复活的可能性，宇宙中存在的暗能量可能就必须用宇宙常数来解释。 

1.狭义相对论的困惑

狭义相对论的建立是经典物理学向现代物理学发展中的一次伟大变革，然而在1907年前后，爱因斯坦逐渐发现狭义相对论理论上的局限性，为了克服这些局限性，爱因斯坦考虑推广狭义相对论，使之成为更具普遍意义的理论。

狭义相对论不能解决引力现象问题：爱因斯坦曾反复运用数学方法修改牛顿的引力理论，企图把引力现象归纳在狭义相对论的范畴之内，但没有获得成功。爱因斯坦通过狭义相对论，把电场与磁场统一起来，把质量和能量统一起来，把牛顿力学方程作了相对论修正，使之与麦克斯韦方程协调起来了。接着，爱因斯坦想把引力现象也纳入狭义相对论的范畴，他作了初步尝试后发现：物体的质量是它所含能量的量度，若物体的能量改变ε，那么质量也要改变ε/c2．按这个结论，物体的惯性质量将随其能量而变，落体的加速度同它的水平速度或者物体的内能有关，这不符合在引力场中的一切物体都具有同一加速度的实验事实。推出的结论不能解释引力场中的普遍事实。
　　爱因斯坦在1907年开始认识到“在狭义相对论的框架里，是不可能有令人满意的引力理论的。”
　　2.广义相对论创建的思路分析
　　a.“等效原理”的建立：
　　对于惯性质量和引力质量，通过伽利略、牛顿、Bessel等所进行的实验研究，尤其是著名的Etvs扭摆实验，使人们得出结论：惯性质量恒等于引力质量。
　　在牛顿引力理论中，地球表面的物体受到地球的引力F=G（M_地m_引）/R，据牛顿运动第二定律，在力F的作用下F=m_惯a．由两式得：m_惯a=G（M_地m_引）/R，即m_惯/m_引=（GM_地）/Ra）。
　　真空中在一给定地点做自由下落的所有物体加速度相同的事实，表明各种物体的引力质量与惯性质量有严格的正比关系．后来，物理学家又证实了引力质量等于惯性质量。爱因斯坦对升降机进行了一系列的理想实验之后，把实验结果归纳为：“引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价。”从而建立了把相对原理推广到加速度的非惯性系的“等效原理”。
　　爱因斯坦决心以惯性质量与引力质量相等这一事实出发，寻求新的引力理论．在进一步认识了惯性力的本质是非惯性系加速度的反映之后，1907年，爱因斯坦在“关于相对论原理和由此得出的结论”一文中，首次提出了等效原理的假设：“引力场同参照系相当的加速度在物理上完全等价。”他说：“这个假说的启发性意义在于，它允许用一个均匀加速参照系来代替一个均匀引力场，而均匀加速参照系这种情况，从理论研究的观点看来，在一定程度上是可以接受的。”在上述文章中，爱因斯坦又把狭义相对性原理作了相应的推广，第一次正式提出：“迄今为止，我们只把相对性原理，即认为自然规律同参照系的状况无关这一假设应用于非加速参照系。是否可以设想，相对性运动原理对于相互做加速运动的参照系也仍然成立？”他还利用均匀加速参照系与均匀引力场的等效性，研究了引力场对时空的影响。
　　1911年，在“关干引力对光传播的影响”的论文中，应用等效原理，推出了光线在经过太阳附近时要发生弯曲的结论。
　　b.“广义协变原理”的建立：
　　在参照系变换下物理规律方程形式不变的性质称为协变性。
　　狭义相对论对于绝对时空观给予了有力的冲击，克服了同时性的绝对性及时间间隔与空间长度的测量与参照系运动状态无关的传统观念。但是，在同一参照系中，仍保持着统一的时间和长度的测量标准，即具有刚性的尺和同步的钟。空间长度、时间间隔的测量，通常与坐标差对应。然而，根据等效原理及加速度运动的相对论，对于物理定律来说，不能仅限于满足洛仑兹变换的协变性（这对应于速度的相对性），而应扩大为更普遍的非线性变换协变性（这对应着加速度的相对性以及与引力场之间的等效性），即应把洛仑兹变换推广为非线性变换。爱因斯坦在谈到当时的认识情况时曾写道：“接受了等效原理所要求的非线性变换，对于坐标的简单的物理解释无可避免是致命的——那就是说，不能再要求：坐标差应当表示那些用理想标尺或理想时钟所得的直接量度结果。我被这一点知识大大地困惑住了…”“对于这个问题的关键，在于建立柔性的时空度规概念。在这方面，海尔曼·闵可夫斯基关于狭义相对论形成基础的分析显得很重要。”这是从狭义相对论的数学原理表示，走向广义相对论数学表示的一个桥梁。
　　实际的引力场并不是均匀的，当将等效原理加以推广时，人们只能将局部点的引力场等效于不变的加速度，而这个加速度的大小从一点到另一点却是变化的。“爱因斯坦升降机”不能在大范围中取代实际的引力场的作用。
　　要克服这种“刚性”空时度规的缺陷，爱因斯坦在困难和困惑中转向了数学，研究罗巴切夫斯基、闵可夫斯基、高斯、黎曼等人的非欧几何。
　　爱因斯坦在研究中发现，几何学与引力场有密切的内在联系。空-时的属性同物质的分布和运动有关，当没有物质存在时（也没有引力场），空间是平直的（即数学上的欧几里得空间）；当有物质存在时，空间的性质发生了变化，时间和空间变得不均匀，大质量物体的周围空间要发生弯曲（即数学上的黎曼空间），爱因斯坦逐一找到了引力场中的物理量与黎曼几何中的数学量的对应关系。
　　爱因斯坦在研究中又发现，空-时的度规对引力场有依赖关系。“在过程发生的地点引力势越大，在时钟里所发生的过程（任何物理过程）也就进行得愈快”；“量杆的长度与放置的位置和方向有关”；“光线被引力场所弯曲”；“所有的电磁现象均受引力场的影响”。得出了任何引力场的出现，意味着空时度规的改变，引力场以完全确定的方式给测量工具和时钟以影响的结论。
　　爱因斯坦运用“柔性”空时柔性度规按等效原理的要求把相对性原理推广到非惯性系.在理论上表述为“广义协变原理”：“自然界的普遍规律，是由那些对一切坐标系都有效的——即对于无论那种坐标代换都是协变的方程式来表示的。”现在一般记述为：自然定律在任何参照系中都可以表示为相同的数学形式。
　　爱因斯坦把惯性系的“刚性”时空推广到加速参照系或引力场的“柔件”时空，完成了认识上新的飞跃。
　　c.引力场方程的建立：
　　在理论有了突破以后，为了推广相对论，1912年爱因斯坦邀请他的老同学苏黎世工业大学数学教授马尔塞耳·格罗斯曼投入了研究。
　　1912年，爱因斯坦已建立起“柔性”度规的概念，并明确该种“柔性”度规依赖于引力场。接着，下一个决定性的步骤是寻求一个对于时空“柔性”度规g_uv来说满足广义协变性要求的微分方程。
　　爱因斯坦放弃了牛顿用标量函数（即引力势）描述引力场的见解，而改用g_uv来描述。g_uv是四维时空中的二阶张量，具有10个独立函数。如何用这个张量作为基本逻辑单元而构成一个满足广义协变性要求的微分方程。这对爱因斯坦来说是完全陌生的数学问题。在格罗斯曼的帮助下，很快发现上面的问题早已由黎曼、里奇和契维塔解决了。在格罗斯曼的合作下，爱因斯坦把绝对微积分，即黎曼张量运算引入了物理学，把平直空间的张量运算推广到弯曲的黎曼空间，为建立广义协变性引力理论开辟了道路。
　　经过近一年的努力，1913年，爱因斯坦与格罗斯曼发表了著名论文“广义相对论与引力纲要”，在这篇论文中，爱因斯坦在肯定时空度规g_uv依赖于引力场的思想基础上，运用推广的方法，给出了一个引力方。在运用推广方法的过程中，他强调了两点原则：
　　a.对应原则。在一个理论的基础上创立更为全面的理论时，原来的理论作为一个极限情况继续存在下去。
　　b.逻辑简单性原则。在一个新的理论中，独立的逻辑元素，即不下定义的概念与推导不出的命题，应该比原有的理论更少。

爱因斯坦以引力势中牛顿——泊松方法为出发点，经过不断地探索、反复地修正，经过一年多极其复杂的计算，终于在1915年建立了重力场方程，1917年提出了具有宇宙因子项重力场方程的普遍形式：

R_uv-（1/2）g_uvR+λg_uv=-KT_uv。
　　式中R_uv是二阶曲率张量；g_uv是度规张量；而T_uv是物质的能量——动量张量；K为常数，可由泊松方程求得，λ为宇宙因子，等式的左边是描述空间几何性质的几何量，而右边是物质张量。该式把物质和时空紧密联系在一起，表明空间-时间的几何性质与物质的分布及其运动密切相关，物质的分布和运动决定四维空间的曲率，而这个弯曲空间又决定物质的运动状态。
　　同年3月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院作了名为“引力的场方程”的学术报告。11月发表了重要论文“用广义相对论解释水星近日点运动”，文中把水星绕日运动当作在太阳引力场中（弯曲室间内）的短程线运动。从定性和定量角度解释了近日点相对于空间某方位的进动。
　　3.广义相对论的建立和三大验证：
　　1916年爱因斯坦发表了论文“广义相对论的基础”，对广义相对论的研究作了全面总结，提出了两个基本原理：（1）等效原理；（2）广义协变原理。
　　爱因斯坦创造性的思想给物理学带来了新的观念。在广义相对论中，物质的存在改变了物理时空的平直性质，空间、时间是弯曲的，时空的弯曲程度反映了引力作用的强弱，广义相对论终于把时间、空间和物体统一在一起了 。

广义相对论的第一大预言是广义相对论认为，由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场实际上是一个弯曲的时空。广义相对论首先解释了水星近日点的进动，这个进动曾经被勒维列用行星摄动方法来解释，但谁也没有发现有“火神星”在那里摄动。爱因斯坦用太阳引力使空间弯曲的理论，很好地解释了水星近日点进动中无法解释的43秒。 

时间的相对性不只包括运动的时钟会变慢，而且甚至包括时间的最基本概念——它的“过去”、“现在”和“将来”的性质。在日常生活中，人们除了用日期来表示事件发生的时间以外，还常常使用“过去”、“现在”和“将来”这样一些时态。用时态描述时间，准确地反映了作为物质存在和运动形式的时间的性质。它不是固定的，总是在变化着。将来最终要变成现在，然后成为过去，即：时空弯曲现象。爱因斯坦相对论证明了“同时性”是相对的，从而也就揭示了“将来”和“过去”的相对性。根据相对论的观点，对于在不同的方向或以不同速度运动的观测者来说，事件的时态没有绝对的过去，也没有绝对的将来。两个在空间上分隔的事件，对于某个观测者来说可能是同时发生的，但对于另一个作不同运动的观测者，却可能有先后之别。譬如，一个观测者可以发现事件A在事件B之前出现；另一个观测者则可能得到相反的结论，第三个观测者甚至会发现A、 B是同时发生的。所有这三个观测者的结论，在他们各自参考系内，可能都是正确的。因此，在相对论里没有普遍一致的“现在”，事实上，爱因斯坦相对论所揭示出来的时间的特性，恰好说明了这一点。 

广义相对论的第二大预言是引力红移，即在强引力场中光谱应向红端移动，20年代，天文学家在天文观测中证实了这一点。 

广义相对论的第三大预言是引力场使光线偏转，这一预言最为引人注目，因为它最终得到了天文验证。最靠近地球的大引力场是太阳引力场。爱因斯坦预言，遥远的星光如果掠过太阳表面，将会发生1点7秒的偏转。这个预言很难验证，因为大白天太阳太亮，看不到星光，晚上能看到星光太阳又下山了。但也有机会，那就是日全食的时候。 

广义相对论认为，可见光或其他波段的电磁波穿过引力场时，会沿着弯曲空间中的测地线前进。因此，当一束光线经过大质量物体周围附近后，光线将偏向物体，这种现象称为光线偏转。其偏转角：

式中M为物体质量，R为光线离开大质量物体中心的最近距离。在日全食时，拍摄太阳周围天空中一组恒星的位置，再在日全食发生以后（或之前）半年，按照同样的高度和方位角拍摄同一组恒星。在两张底片上选取均匀分布的恒星为定位标准，比较擦过太阳边缘的同一颗星的位置变化，可验证爱因斯坦广义相对论的这一预言。还可以利用甚长基线干涉仪测量类星体发出的射电波被太阳引力场偏转的数值，其精确度超过了光学观测。最近的测量结果表明，准确度已达到广义相对论预言值的1.007±0.009。 

相对论中有一个重要的推论就是：物质都有质量，质量产生引力。光线在经过物体近旁时会因引力作用而发生偏转。通常光线经过的物体质量很小，所以偏转极微，近乎是条直线。当光线 通过质量足够大的物体时，偏转效应便会显示出来。太阳是个质量很大的物体，若有天体的光线从太阳近旁经过，应该发生可以检测出来的位置偏移。

根据广义相对论中“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空”的思想，爱因斯坦给出了著名的引力场方程（Einstein's field equation）：<math>R_ - \fracg_ R = - 8 \pi {G \over c} T_ </math>

其中 G 为牛顿万有引力常数，这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。加入宇宙学常数后的场方程为：<math>R_ - \fracg_ R + \Lambda g_= - 8 \pi {G \over c} T_ </math>

由于惯性系无法定义，爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理：广义相对性原理。其内容是，所有参考系在描述自然定律时都是等效的。这与狭义相对性原理有很大区别。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。但在一切参考系中，这是不可能的，只能说不同参考系可以同样有效的描述自然律。这就需要人们寻找一种更好的描述方法来适应这种要求。通过狭义相对论，很容易证明旋转圆盘的圆周率大于3.14。因此，普通参考系应该用黎曼几何来描述。第二个原理是光速不变原理：光速在任意参考系内都是不变的。它等效于在四维时空中光的时空点是不动的。当时空是平直的，在三维空间中光以光速直线运动，当时空弯曲时，在三维空间中光沿着弯曲的空间运动。可以说引力可使光线偏折，但不可加速光子。第三个原理是最著名的等效原理。质量有两种，惯性质量是用来度量物体惯性大小的，起初由牛顿第二定律定义。引力质量度量物体引力荷的大小，起初由牛顿的万有引力定律定义。它们是互不相干的两个定律。惯性质量不等于电荷，甚至目前为止没有任何关系。那么惯性质量与引力质量（引力荷）在牛顿力学中不应该有任何关系。然而通过当代最精密的试验也无法发现它们之间的区别，惯性质量与引力质量严格成比例（选择适当系数可使它们严格相等）。广义相对论将惯性质量与引力质量完全相等作为等效原理的内容。惯性质量联系着惯性力，引力质量与引力相联系。这样，非惯性系与引力之间也建立了联系。那么在引力场中的任意一点都可以引入一个很小的自由降落参考系。由于惯性质量与引力质量相等，在此参考系内既不受惯性力也不受引力，可以使用狭义相对论的一切理论。初始条件相同时，等质量不等电荷的质点在同一电场中有不同的轨道，但是所有质点在同一引力场中只有唯一的轨道。等效原理使爱因斯坦认识到，引力场很可能不是时空中的外来场，而是一种几何场，是时空本身的一种性质。由于物质的存在，原本平直的时空变成了弯曲的黎曼时空。在广义相对论建立之初，曾有第四条原理，惯性定律：不受力（除去引力，因为引力不是真正的力）的物体做惯性运动。在黎曼时空中，就是沿着测地线运动。测地线是直线的推广，是两点间最短（或最长）的线，是唯一的。比如，球面的测地线是过球心的平面与球面截得的大圆的弧。但广义相对论的场方程建立后，这一定律可由场方程导出，于是惯性定律变成了惯性定理。

一、在任何惯性参考系中，自然规律都相同，称为相对性原理。

二、在任何惯性系中，真空光速c都相同，即光速不变原理。

其中第一条就是相对性原理，第二条是光速不变性。整个狭义相对论就建筑在这两条基本原理上。由此得出时间和空间各量从一个惯性系变换到另一惯性系时，应该满足洛伦兹变换，而不是满足伽利略变换。并由此推出许多重要结论，例如：

1、两事件发生的先后或是否“同时”，在不同参照系看来是不同的（但因果律仍然成立）。

2、量度物体的长度时，将测到运动物体在其运动方向上的长度要比静止时缩短。与此相似，量度时间进程时，将看到运动的时钟要比静止的时钟进行得慢。

3、物体质量m随速度v的增加而增大。

4、任何物体的速度不能超过光速。

5、物体的质量m与能量E之间满足质能关系式E=mc2。

以上结论与目前的实验事实符合，但只有在高速运动时，效应才显著。在通常的情况下，相对论效应极其微小，因此经典力学可认为是相对论力学在低速情况下的近似。

1、广义相对论原理，即自然定律在任何参考系中都可以表示为相同数学形式。

2、等价原理，即在一个小体积范围内的万有引力和某一加速系统中的惯性力相互等效。

按照上述原理，万有引力的产生是由于物质的存在和一定的分布状况使时间空间性质变得不均匀（所谓时空弯曲）；并由此建立了引力场理论；而狭义相对论则是广义相对论在引力场很弱时的特殊情况。