虚功原理

分析静力学的重要原理，又称虚位移原理引，是J.-L.拉格朗日于1764年建立的。其内容为：一个原为静止的质点系，如果约束是理想双面定常约束，则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。

原理

虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总和等于零。考虑一个由一群粒子组成，呈静态平衡的系统。作用于任何一个粒子Pi的净力 等于零。 作用于任何一个粒子 Pi 的净力，经过虚位移 ，所作的虚功为零。因此，所有虚功的总和也是零。 分析到这里，请特别注意，对于任意位移，虚功总和方程式都是正确的。因此，原本的向量方程式，仍旧可以从虚功总和方程式求得。让我们继续分析。将净力细分为外力 与约束力。 如果，一切约束力，因为虚位移，所作的虚功总合是零。则约束力项目可以从方程式中移去。 特别注意，现在， 很可能不等于零。实际上，我们应该认为它不等于零。

符合约束力虚功总和是零的实例：

刚体的约束。这里，粒子与粒子的位置分别是常数。

两种可能的状况

在这状况下,粒子作用于粒子的力方向与粒子作用于粒子的力正好相反，两个力所作的虚功互相抵销，虚功总合仍旧是零。 所以，在刚体内，粒子与粒子之间的作用力与反作用力所作的虚功总和是零。

思考木块在平滑地面上的移动。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。这约束力垂直于虚位移。所以，它所作的虚功等于零。可是，假若木块移动的地面是粗糙的，则会有摩擦力产生。由于虚位移平行于摩擦力，虚功不等于零。所以，达朗伯特原理不适用于这状况。但是，如果是一只轮子滚动于粗糙的表面上，因为摩擦点是不动的，虚功等于零，又可以用到达朗伯特原理了。在动力学里，也有一个对应的原理，叫做达朗伯特原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。

结构力学中刚体体系的虚功原理：设满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，又假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所做的虚功总和恒为零。

结构力学中变形体体系的虚功原理：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。

广义力

广义力是与广义坐标qj对应的力。它的量纲由它与qj的虚位移  的乘积构成功的物理量决定。用Qj表示广义力，则  ，  为虚功微元。若  为线量  ，且X  为功，则X是作用力。若  为角量  ，且M  为功，则M是力矩。所以广义的量纲不一定是力的量纲。

广义力的定义又可由以下坐标变换式得来：

N个自由度的完整系统，有N个广义力。

对于完整保守系统，存在着势函数

由于  ，代入Qj的表达式，得：