诺特定理

设我们有一个n维流形M以及一个目标流形T。令为从M到T的光滑函数组成的位形空间。（更一般的情况下，我们可以有一个M上的纤维丛的光滑截面）

物理学中这样的“M”的例子包括：

经典力学上，哈密顿表述中，M是一个一维流形R，代表时间而目标空间是广义位置的空间的余切丛。

场论中，M是时空流形，而目标空间是场在任何给定可取的值的集合。例如，如果有m个实值标量场，φ1,...,φm，则目标流形是Rm。若流形是一个实向量场，则目标流形同构于R3。 

现在设有一个泛函称为作用量。（注意它在中而非中取值；这是有物理原因的，并且并不影响本证明。）

要得到通常版本的诺特定理，我们需要对作用量作额外的限制。我们假设S[φ]是M上的如下函数的积分

称为拉格朗日量，它依赖于φ，包括它在各点的导数和位置。换句话说，对于中的φ

设我们给出边界条件，也即，在M为紧致的情况下φ在边界的取值，或者在x趋向∞时，φ的极限。则的由满足如下两个条件的的φ组成的子空间就是在壳解的子空间，其一是φ的S的泛函导数为零，也即：

其二是φ满足给定边界条件。（参看稳定作用量原理）

现在，假设我们有一个无穷小变换，定义在上，它由一个泛函求导Q生成，满足

对于所有紧致子流形N成立，换句话讲（散度定理），

对于所有x成立，其中我们令

若这在在壳和离壳都成立，我们称Q生成一个离壳对称性。若只在在壳情况成立，称Q生成在壳对称性。然后，我们称Q是单参数对称性李群的生成元。

现在，对于每个N，因为欧拉-拉格朗日定理，在壳（只有在壳)上，我们有

因为这对于所有N成立，我们有

但这无非就是对于如下的流的连续性方程

这被称为和该对称性相关的诺特流（Noether current）。该连续性方程说明如果对这个流在空间式切片上积分，就可以得到称为诺特荷的守恒量（当然，必须假定M非紧致时，该流趋向无穷远处时下降足够快）。

相关叙述

常见的例子有动量、能量、角动量守恒跟相应的时空均匀性的关系：

空间均匀性与动量守恒：空间是均匀的，也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一样的，物理定律在空间平移（不如从地球移到月亮上）变换下是不变的，由诺特定理可以得到存在这么一个守恒量，即动量。

空间各项同性与角动量守恒：空间是各向同性的，也就是空间没有一个特殊的方向，我们任意取坐标轴的方向，虽然物理量的数值在各个坐标系当中可能是不一样的，但物理定律所对应的方程是不变的，比如牛顿运动定律F=ma(矢量形式)在空间旋转变换下是不变的，我们把坐标轴旋转，虽然矢量的各个分量变了，但总的方程F=ma(矢量形式)是不变的，这样，在牛顿力学当中，就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量——角动量。

时间均匀性跟能量守恒：同样，由时间均匀性，也就是过去、现在、未来物理定律是一样的，由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量——能量。

一般诺特定理的证明都是在拉格朗日形式下来证明的，也就是假定我们所发现的力学体系的拉格朗日描述是正确的。