诺特定理

定理的数学表达

诺特定理是奇异积分方程的基本定理。它并不限于柯西型核的奇异积分方程。

定理1： 奇异积分方程Kφ=f可解的充分必要条件是成立关系式：

其中ψi(t)(i=1，2，…，k′)是相联齐次方程K′ψ=0的线性无关解的完备系；

定理2：齐次方程Kφ=0的线性无关解的个数k与相联齐次方程K′ψ=0的线性无关解的个数k′之差只与K的特征部分有关，它等于算子K的指标，即k-k′=κ。

第二类弗雷德霍姆积分方程的弗雷德霍姆定理是柯西核奇异积分方程中b(t)=0，即诺特定理κ=0的特例。由此可见，对指标为零的奇异积分方程，弗雷德霍姆定理是成立的，这类方程称为拟弗雷德霍姆方程，其相应的奇异积分算子称为拟弗雷德霍姆算子。

对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。

更学术化的解释

上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。

应用

诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：

对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了线性动量的守恒律；

对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；

对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。

在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。

诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵1。