拉格朗日量

拉格朗日量（又称拉格朗日函数）是动能T 与势能V 的差值：L=T-V。通常，动能的参数为广义速度 q'1，q'2……q'N （符号上方的点号表示对于时间t的全导数），而势能的参数为广义坐标 V1，V2，……，VN；t ，所以，拉格朗日量的参数为 q'1，q'2……q'N（符号上方有一点）；V1，V2……VN；t 。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。

拉格朗日函数

定义

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为

其中， 为拉格朗日量，  为动能，  为势能。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

概念

拉格朗日量是动能  与势能  的差值：

通常，动能的参数为广义速度 （符号上方的点号表示对于时间  的全导数），而势能的参数为广义坐标 ，所以，拉格朗日函数的参数为  。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日函数。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。

假设一个物理系统的拉格朗日量为  ，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程表示为

其中， 是时间， 是广义坐标， 是广义速度。

1. 拉格朗日函数与作用量的关系

一个物理系统的作用量  是一种泛函，以数学方程定义为

其中，  是系统的拉格朗日量，广义坐标  是时间  的函数， 和  分别为初始时间和终结时间。

假若，作用量的一次变分  ，作用量  为平稳值，则  正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程。

2. 拉格朗日函数与能量守恒定律的关系

思考拉格朗日函数对于时间的全导数：

将拉格朗日方程代入，可以得到

定义能量函数

  为 

则能量函数与拉格朗日函数有以下含时关系式：

假若拉格朗日量显性地与时间无关，，则能量函数是个常数：  。称这常数  为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。