经典力学

赵亚溥

目录

  • 1 预备课 数学知识
    • 1.1 0.1 行列式、矢量的代数运算（一）
    • 1.2 0.2 行列式、矢量的代数运算（二）
    • 1.3 0.3 行列式、矢量的代数运算（三）
    • 1.4 0.4 行列式、矢量的代数运算（四）
    • 1.5 0.5 一元函数的微积分（上）
    • 1.6 0.6 一元函数的微积分（中）
    • 1.7 0.7 一元函数的微积分（下）
    • 1.8 0.8 多元函数的微积分（一）
    • 1.9 0.9 多元函数的微积分（二）
    • 1.10 0.10 多元函数的微积分（三）
    • 1.11 0.11 多元函数的微积分（四）
  • 2 第一章 经典力学概览
    • 2.1 1.1 经典力学——牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学
    • 2.2 1.2 经典力学的三个组成部分以及所联系的空间（上）
    • 2.3 1.3 经典力学的三个组成部分以及所联系的空间（下）
    • 2.4 1.4 直线运动 (Rectilinear Motion)
    • 2.5 1.5 平面曲线运动 (Curvilinear Motion)
    • 2.6 1.6 引力波介绍（上）
    • 2.7 1.7 引力波介绍（下）
    • 2.8 1.8 经典力学和几何光学之间的类比性
    • 2.9 1.9 一般曲线运动
    • 2.10 1.10 佯谬
    • 2.11 1.11 最小作用量原理（上）
    • 2.12 1.12 最小作用量原理（中）
    • 2.13 1.13 最小作用量原理（下）
    • 2.14 1.14 何谓经典力学？
    • 2.15 1.15 经典力学和几何光学之间的类比性，最小作用量原理
    • 2.16 1.16 黎曼度规张量与非欧几何简介（Lamé常数）
  • 3 第二章 牛顿力学与思想实验
    • 3.1 2.1 托里拆利小号佯谬
    • 3.2 2.2 思想实验: 镞矢之疾、飞矢不动、芝诺佯谬
    • 3.3 2.3 思想实验：伽利略相对性原理（一）
    • 3.4 2.4 思想实验：伽利略相对性原理（二）
    • 3.5 2.5 思想实验：伽利略相对性原理（三）
    • 3.6 2.6 思想实验：伽利略相对性原理（四）
    • 3.7 2.7 开普勒三大行星定律（上）
    • 3.8 2.8 开普勒三大行星定律（中）
    • 3.9 2.9 开普勒三大行星定律（下）
    • 3.10 2.10 Laplace-Runge-Lenz (LRL) 矢量
    • 3.11 2.11 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（上）
    • 3.12 2.12 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（中）
    • 3.13 2.13 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（下）
    • 3.14 2.14 三体问题的由来和新进展
    • 3.15 2.15 平方反比定律（上）
    • 3.16 2.16 平方反比定律（下）
    • 3.17 2.17 牛顿壳层定理、地球内外的引力势（上）
    • 3.18 2.18 牛顿壳层定理、地球内外的引力势（下）
    • 3.19 2.19 转动中的力学（一）
    • 3.20 2.20 转动中的力学（二）
    • 3.21 2.21 转动中的力学（三）
    • 3.22 2.22 转动中的力学（四）
    • 3.23 2.23 爱因斯坦的电梯思想实验
    • 3.24 2.24 惯性质量、引力质量与等效原理（上）
    • 3.25 2.25 惯性质量、引力质量与等效原理（下）
    • 3.26 2.26 应用汤川势对平方反比定律的修正
    • 3.27 2.27 惯性张量表达式的推导（上）
    • 3.28 2.28 惯性张量表达式的推导（下）
    • 3.29 2.29 朗道《力学》选讲
    • 3.30 2.30 牛顿的水桶思想实验
    • 3.31 2.31 马赫原理
    • 3.32 2.32 爱因斯坦、贝索、马赫“三人戏剧”
    • 3.33 2.33 时间平均的概念
    • 3.34 2.34 位力定理（上）
    • 3.35 2.35 位力定理（下）
    • 3.36 2.36 力学相似性
    • 3.37 2.37 四种虚拟力
    • 3.38 2.38 惯性张量
    • 3.39 2.39 微小振动
    • 3.40 2.40 系统的振动
  • 4 第三章 拉格朗日力学
    • 4.1 3.1 拉格朗日量、拉格朗日函数、拉格朗日方程（上）
    • 4.2 3.2 拉格朗日量、拉格朗日函数、拉格朗日方程（下）
    • 4.3 3.3 应用拉格朗日方程证明诺特定理（上）
    • 4.4 3.4 应用拉格朗日方程证明诺特定理（中）
    • 4.5 3.5 应用拉格朗日方程证明诺特定理（下）
    • 4.6 3.6 瑞利耗散函数、力-电类比（上）
    • 4.7 3.7 瑞利耗散函数、力-电类比（下）
    • 4.8 3.8 虚位移、虚功原理、广义力（上）
    • 4.9 3.9 虚位移、虚功原理、广义力（下）
    • 4.10 3.10 达朗贝尔原理、从达朗贝尔原理出发推导拉格朗日方程（上）
    • 4.11 3.11 达朗贝尔原理、从达朗贝尔原理出发推导拉格朗日方程（下）
    • 4.12 3.12 运动积分、运动常数
    • 4.13 3.13 达朗贝尔原理
    • 4.14 3.14 约尔丹原理
    • 4.15 3.15 高斯最小约束量原理
    • 4.16 3.16 拉格朗日量的性质（上）
    • 4.17 3.17 拉格朗日量的性质（下）
    • 4.18 3.18 从拉格朗日方程出发重新审视伽利略不变性
    • 4.19 3.19 伽利略变换与伽利略群
    • 4.20 3.20 弦的振动与音乐的和谐（上）
    • 4.21 3.21 弦的振动与音乐的和谐（中）
    • 4.22 3.22 弦的振动与音乐的和谐（下）
    • 4.23 3.23 膜的振动
    • 4.24 3.24 弛豫时间
    • 4.25 3.25 相对论力学（一）
    • 4.26 3.26 相对论力学（二）
    • 4.27 3.27 相对论力学（三）
    • 4.28 3.28 相对论力学（四）
  • 5 第四章 哈密顿力学
    • 5.1 4.1 微观可逆性原理、CPT 对称性原理（上）
    • 5.2 4.2 微观可逆性原理、CPT 对称性原理（下）
    • 5.3 4.3 对称性与Noether定理（上）
    • 5.4 4.4 对称性与Noether定理（下）
    • 5.5 4.5 勒让德变换（上）
    • 5.6 4.6 勒让德变换（下）
    • 5.7 4.7 哈密顿正则方程
    • 5.8 4.8 相空间
    • 5.9 4.9 罗斯方法——混合的哈密顿-拉格朗日方法（上）
    • 5.10 4.10 罗斯方法——混合的哈密顿-拉格朗日方法（下）
    • 5.11 4.11 泊松括号（一）
    • 5.12 4.12 泊松括号（二）
    • 5.13 4.13 泊松括号（三）
    • 5.14 4.14 泊松括号（四）
    • 5.15 4.15 哈密顿-雅克比方程（上）
    • 5.16 4.16 哈密顿-雅克比方程（下）
    • 5.17 4.17 用哈密顿-雅克比方程推导定态和含时薛定谔方程（上）
    • 5.18 4.18 用哈密顿-雅克比方程推导定态和含时薛定谔方程（下）
  • 6 第五章 连续介质力学与非线性力学初步
    • 6.1 5.1 胡克弹性、弹性力学初步（上）
    • 6.2 5.2 胡克弹性、弹性力学初步（中）
    • 6.3 5.3 胡克弹性、弹性力学初步（下）
    • 6.4 5.4 流变力学
    • 6.5 5.5 牛顿流体、流体力学初步
  • 7 第六章 生命力学
    • 7.1 6.1 生命体的简单标度关系
    • 7.2 6.2 异向生长标度律
    • 7.3 6.3 大脑中的力学（一）
    • 7.4 6.4 大脑中的力学（二）
    • 7.5 6.5 大脑中的力学（三）
    • 7.6 6.6 大脑中的力学（四）
    • 7.7 6.7 脑科学最新进展与同步现象简介
  • 8 第七章 微积分初步与量纲分析
    • 8.1 7.1 基于快速匹配法的量纲分析（一）
    • 8.2 7.2 基于快速匹配法的量纲分析（二）
    • 8.3 7.3 基于快速匹配法的量纲分析（三）
    • 8.4 7.4 基于快速匹配法的量纲分析（四）
    • 8.5 7.5 量纲分析、数量级估计与标度律的练习
    • 8.6 7.6 精细结构常数 α≈1/137
    • 8.7 7.7 齐次函数的欧拉定理
    • 8.8 7.8 变分法（上）
    • 8.9 7.9 变分法（下）
  • 9 阅读
    • 9.1 阅读
  • 10 调查问卷
    • 10.1 调查问卷
7.8 变分法（上）
  • 1 视频
  • 2 ​章节测验


变分法

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

简介

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

发展简史

变分法可能是从约翰·伯努利(Johann Bernoulli)1696年提出最速曲线(brachistochrone curve)问题开始出现的。它立即引起了雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli)和洛必达的注意，但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。拉格朗日对这个理论的贡献非常大。拉格朗日(1786)确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科。对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810)， Carl Friedrich Gauss(1829)，Simeon Poisson(1831)， Mikhail Ostrogradsky(1884)，和Carl Jacobi(1837)都曾做出过贡献。 Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。 Strauch(1849)，Jellett(1850)， Otto Hesse(1857)，Alfred Clebsch(1858)，和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个希尔伯特(Hilbert)促进了更深远的发展. 在20世纪David Hilbert, Emmy Noether，Leonida Tonelli，Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。 Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。