哈密顿方程的推导

从拉格朗日力学开始，运动方程基于广义坐标 

而相应的广义速度为 

通过延伸记号的意义，我们将拉格朗日函数写作 

其中带下标的变量视为所有N个该类型的变量。哈密顿力学的目标是用广义动量（也称为共轭动量）变量取代广义速度。这样一来，就可能处理特定的系统，例如量子力学的某些方面，否则其表述会更复杂。

对于每个广义速度，有一个对应的共轭动量，定义为：

在直角坐标系中，广义动量就是物理上的线性动量。在极坐标中，对应角速度的广义动量就是物理上的角动量。对于广义坐标的任意选取，可能不能找到共轭动量的直观解释。

在依赖于坐标的表述中不太明显的一点是：不同的广义坐标实际上无非就是同一辛流形的不同坐标表示。

哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换：

若定义广义坐标的变换方程和t无关，可以证明H等于总能量E=T+V.

 的定义的每边各产生一个微分：

把前面共轭动量的定义代入这个方程并合并系数，我们得到哈密顿力学的运动方程，称为哈密顿方程：

哈密顿方程是一阶微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因为那个是二阶的。但是，导出运动方程的步骤比拉格朗日力学更繁琐 - 从广义坐标和拉格朗日量开始，必须先计算哈密尔顿量，用共轭动量来表达每个广义坐标，然后将共轭动量代入哈密顿量。总之，用哈密顿力学来解决问题不比用拉格朗日力学简单多少。最终，这会得到和拉格朗日力学和牛顿运动定律同样的解。

哈密顿方法的主要优点在于它提供了经典力学理论的更深刻结果的基础。