哈密顿-雅可比方程 

在物理学里，哈密顿-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恒的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。

简介

哈密顿—雅可比方程（HJE）是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

数学表述

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程。用数学表达

其中，  是哈密顿量，未知函数  称为哈密顿主函数，  是广义坐标，  是积分常数，t是时间。

假若能够找到哈密顿主函数S的形式，就可以计算出广义坐标  与广义动量  随时间的演变。这样，可以完全地解析物理系统随时间的演化。

说明：矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用r 表示；而其大小则用r来表示。

各种力学表述的比较

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程；其中，函数  有  个广义坐标 ，和个独立的积分常数  。在 HJE 中，哈密顿主函数S 有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。

与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，哈密顿力学里使用共轭动量而非广义速度。并且，哈密顿方程乃是一组  个一阶微分方程，用来表示  个广义坐标和  个广义动量随时间的演变，而拉格朗日方程则是一组  个二阶微分方程，用来表示  个广义坐标随时间的演变。

因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用 HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。