勒让德变换应用

热力学

   在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变数，转换为一个新函数与所含有的一个新自变数，（此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数）；将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能是外延量（extensive）熵，体积，与化学成分（chemical composition）  的显函数 。

对于  ，函数  （非标准的）勒让德变换为焓函数  ： ， 。

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。对于  ，函数  勒让德变换为吉布斯能函数  :

 ， 。

对于  ，函数  勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数  :， 。

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

经典力学

     在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量是广义坐标与广义速度的函数；而哈密顿量将函数的自变量转换为广义坐标  与广义动量：

 ， 。

正则变换

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，  ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

 ， ， ；

这里，  是旧正则坐标，  是新正则坐标，  是旧哈密顿量，  是新哈密顿量，  是生成函数。