泊松括号的性质

从定义很容易导出泊松括号具有以下性质。把两个函数对调，泊松括号改变符号（反对称）；如果其中一个是常数c，那么泊松括号等于零：

其次还有（双线性，因为对第一个力学量f也有类似的关系）：

另外，还有（Leibniz 法则，这只是类似于微分的链式法则的一个不同称呼而已）

如果 f 仅仅是q 或者仅仅是p的函数，那么由定义可直接得到：

如果函数 f 和g中有一个是坐标或动量，那么泊松括号括号简化为偏导数：

，

第一个式子可以令  得到，此时由于  以及  ，求和只有一项有贡献。在上式中让f等于  和  ，我们可以得到：

泊松括号的最后一个性质：

这个性质很容易从定义看出，不仅如此，如果你把上面对时间的偏导数换成全微商也是成立的，也就是说 

这个关系可以利用 Jacobi 恒等式得到证明，这是因为：

而 

最后一个等式用到了泊松括号的反对称性，将第一项展开并且作适当整理就得到

 因此得证。