罗斯函数的性质

罗斯函数的微分为：(以下各式中所有的·均表示对其前面的变量求时间导数，并非乘号。且以下所有的公式均可以推广到有多个坐标q和ξ的情况，此处省略了表示自由度的下标i )

dR = -p·dq + q·dp - (∂L/∂ξ)dξ - (∂L/∂ξ·)dξ·

由此可得

方程1： q·=∂R/∂p ， p·= -∂R/∂q

方程2： ∂L/∂ξ = - ∂R/∂ξ ， ∂L/∂ξ· = - ∂R/∂ξ·

将方程2代入拉格朗日方程可得

方程3：d(∂R/∂ξ·) / dt =∂R/∂ξ

可见，罗斯函数对于坐标q是哈密顿函数（方程1），对于坐标ξ是拉格朗日函数（方程3）。

根据一般定义，系统的能量为

方程4：E =q·∂L/∂q· +ξ·∂L/∂ξ· - L =pq· + ξ·∂L/∂ξ· - L

将罗斯函数定义式与方程2代入，能量可以用罗斯函数表示为 

E =R -ξ·∂R/∂ξ·

罗斯函数的应用

应用罗斯函数可能是非常方便的，特别是存在循环坐标的时候。如果q是循环坐标，则它不显含在拉格朗日函数中，因而不显含于罗斯函数，所以罗斯函数仅是p,ξ,ξ·的函数，而相应于循环坐标的广义动量p为常数（也可从方程1中的后式得出，从这个意义上讲，方程1不能给出任何新的结果）。将p替换为给定常数后，方程3成为仅包含坐标ξ的方程，循环坐标被完全消去。如果这些方程可以求解并得到函数 ξ(t) ，则将其代入方程

q· =∂R(p, ξ, ξ·) / ∂p 的右端，可以直接积分求出函数q(t)。