经典力学

赵亚溥

目录

  • 1 预备课 数学知识
    • 1.1 0.1 行列式、矢量的代数运算（一）
    • 1.2 0.2 行列式、矢量的代数运算（二）
    • 1.3 0.3 行列式、矢量的代数运算（三）
    • 1.4 0.4 行列式、矢量的代数运算（四）
    • 1.5 0.5 一元函数的微积分（上）
    • 1.6 0.6 一元函数的微积分（中）
    • 1.7 0.7 一元函数的微积分（下）
    • 1.8 0.8 多元函数的微积分（一）
    • 1.9 0.9 多元函数的微积分（二）
    • 1.10 0.10 多元函数的微积分（三）
    • 1.11 0.11 多元函数的微积分（四）
  • 2 第一章 经典力学概览
    • 2.1 1.1 经典力学——牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学
    • 2.2 1.2 经典力学的三个组成部分以及所联系的空间（上）
    • 2.3 1.3 经典力学的三个组成部分以及所联系的空间（下）
    • 2.4 1.4 直线运动 (Rectilinear Motion)
    • 2.5 1.5 平面曲线运动 (Curvilinear Motion)
    • 2.6 1.6 引力波介绍（上）
    • 2.7 1.7 引力波介绍（下）
    • 2.8 1.8 经典力学和几何光学之间的类比性
    • 2.9 1.9 一般曲线运动
    • 2.10 1.10 佯谬
    • 2.11 1.11 最小作用量原理（上）
    • 2.12 1.12 最小作用量原理（中）
    • 2.13 1.13 最小作用量原理（下）
    • 2.14 1.14 何谓经典力学？
    • 2.15 1.15 经典力学和几何光学之间的类比性，最小作用量原理
    • 2.16 1.16 黎曼度规张量与非欧几何简介（Lamé常数）
  • 3 第二章 牛顿力学与思想实验
    • 3.1 2.1 托里拆利小号佯谬
    • 3.2 2.2 思想实验: 镞矢之疾、飞矢不动、芝诺佯谬
    • 3.3 2.3 思想实验：伽利略相对性原理（一）
    • 3.4 2.4 思想实验：伽利略相对性原理（二）
    • 3.5 2.5 思想实验：伽利略相对性原理（三）
    • 3.6 2.6 思想实验：伽利略相对性原理（四）
    • 3.7 2.7 开普勒三大行星定律（上）
    • 3.8 2.8 开普勒三大行星定律（中）
    • 3.9 2.9 开普勒三大行星定律（下）
    • 3.10 2.10 Laplace-Runge-Lenz (LRL) 矢量
    • 3.11 2.11 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（上）
    • 3.12 2.12 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（中）
    • 3.13 2.13 牛顿的《自然哲学的数学原理》和三大运动定律（下）
    • 3.14 2.14 三体问题的由来和新进展
    • 3.15 2.15 平方反比定律（上）
    • 3.16 2.16 平方反比定律（下）
    • 3.17 2.17 牛顿壳层定理、地球内外的引力势（上）
    • 3.18 2.18 牛顿壳层定理、地球内外的引力势（下）
    • 3.19 2.19 转动中的力学（一）
    • 3.20 2.20 转动中的力学（二）
    • 3.21 2.21 转动中的力学（三）
    • 3.22 2.22 转动中的力学（四）
    • 3.23 2.23 爱因斯坦的电梯思想实验
    • 3.24 2.24 惯性质量、引力质量与等效原理（上）
    • 3.25 2.25 惯性质量、引力质量与等效原理（下）
    • 3.26 2.26 应用汤川势对平方反比定律的修正
    • 3.27 2.27 惯性张量表达式的推导（上）
    • 3.28 2.28 惯性张量表达式的推导（下）
    • 3.29 2.29 朗道《力学》选讲
    • 3.30 2.30 牛顿的水桶思想实验
    • 3.31 2.31 马赫原理
    • 3.32 2.32 爱因斯坦、贝索、马赫“三人戏剧”
    • 3.33 2.33 时间平均的概念
    • 3.34 2.34 位力定理（上）
    • 3.35 2.35 位力定理（下）
    • 3.36 2.36 力学相似性
    • 3.37 2.37 四种虚拟力
    • 3.38 2.38 惯性张量
    • 3.39 2.39 微小振动
    • 3.40 2.40 系统的振动
  • 4 第三章 拉格朗日力学
    • 4.1 3.1 拉格朗日量、拉格朗日函数、拉格朗日方程（上）
    • 4.2 3.2 拉格朗日量、拉格朗日函数、拉格朗日方程（下）
    • 4.3 3.3 应用拉格朗日方程证明诺特定理（上）
    • 4.4 3.4 应用拉格朗日方程证明诺特定理（中）
    • 4.5 3.5 应用拉格朗日方程证明诺特定理（下）
    • 4.6 3.6 瑞利耗散函数、力-电类比（上）
    • 4.7 3.7 瑞利耗散函数、力-电类比（下）
    • 4.8 3.8 虚位移、虚功原理、广义力（上）
    • 4.9 3.9 虚位移、虚功原理、广义力（下）
    • 4.10 3.10 达朗贝尔原理、从达朗贝尔原理出发推导拉格朗日方程（上）
    • 4.11 3.11 达朗贝尔原理、从达朗贝尔原理出发推导拉格朗日方程（下）
    • 4.12 3.12 运动积分、运动常数
    • 4.13 3.13 达朗贝尔原理
    • 4.14 3.14 约尔丹原理
    • 4.15 3.15 高斯最小约束量原理
    • 4.16 3.16 拉格朗日量的性质（上）
    • 4.17 3.17 拉格朗日量的性质（下）
    • 4.18 3.18 从拉格朗日方程出发重新审视伽利略不变性
    • 4.19 3.19 伽利略变换与伽利略群
    • 4.20 3.20 弦的振动与音乐的和谐（上）
    • 4.21 3.21 弦的振动与音乐的和谐（中）
    • 4.22 3.22 弦的振动与音乐的和谐（下）
    • 4.23 3.23 膜的振动
    • 4.24 3.24 弛豫时间
    • 4.25 3.25 相对论力学（一）
    • 4.26 3.26 相对论力学（二）
    • 4.27 3.27 相对论力学（三）
    • 4.28 3.28 相对论力学（四）
  • 5 第四章 哈密顿力学
    • 5.1 4.1 微观可逆性原理、CPT 对称性原理（上）
    • 5.2 4.2 微观可逆性原理、CPT 对称性原理（下）
    • 5.3 4.3 对称性与Noether定理（上）
    • 5.4 4.4 对称性与Noether定理（下）
    • 5.5 4.5 勒让德变换（上）
    • 5.6 4.6 勒让德变换（下）
    • 5.7 4.7 哈密顿正则方程
    • 5.8 4.8 相空间
    • 5.9 4.9 罗斯方法——混合的哈密顿-拉格朗日方法（上）
    • 5.10 4.10 罗斯方法——混合的哈密顿-拉格朗日方法（下）
    • 5.11 4.11 泊松括号（一）
    • 5.12 4.12 泊松括号（二）
    • 5.13 4.13 泊松括号（三）
    • 5.14 4.14 泊松括号（四）
    • 5.15 4.15 哈密顿-雅克比方程（上）
    • 5.16 4.16 哈密顿-雅克比方程（下）
    • 5.17 4.17 用哈密顿-雅克比方程推导定态和含时薛定谔方程（上）
    • 5.18 4.18 用哈密顿-雅克比方程推导定态和含时薛定谔方程（下）
  • 6 第五章 连续介质力学与非线性力学初步
    • 6.1 5.1 胡克弹性、弹性力学初步（上）
    • 6.2 5.2 胡克弹性、弹性力学初步（中）
    • 6.3 5.3 胡克弹性、弹性力学初步（下）
    • 6.4 5.4 流变力学
    • 6.5 5.5 牛顿流体、流体力学初步
  • 7 第六章 生命力学
    • 7.1 6.1 生命体的简单标度关系
    • 7.2 6.2 异向生长标度律
    • 7.3 6.3 大脑中的力学（一）
    • 7.4 6.4 大脑中的力学（二）
    • 7.5 6.5 大脑中的力学（三）
    • 7.6 6.6 大脑中的力学（四）
    • 7.7 6.7 脑科学最新进展与同步现象简介
  • 8 第七章 微积分初步与量纲分析
    • 8.1 7.1 基于快速匹配法的量纲分析（一）
    • 8.2 7.2 基于快速匹配法的量纲分析（二）
    • 8.3 7.3 基于快速匹配法的量纲分析（三）
    • 8.4 7.4 基于快速匹配法的量纲分析（四）
    • 8.5 7.5 量纲分析、数量级估计与标度律的练习
    • 8.6 7.6 精细结构常数 α≈1/137
    • 8.7 7.7 齐次函数的欧拉定理
    • 8.8 7.8 变分法（上）
    • 8.9 7.9 变分法（下）
  • 9 阅读
    • 9.1 阅读
  • 10 调查问卷
    • 10.1 调查问卷
4.9 罗斯方法——混合的哈密顿-拉格朗日方法（上）
  • 1 视频
  • 2 ​章节测验


罗斯函数

力学系统的状态一般可以用广义坐标q(t)、广义速度q·（表示广义坐标对时间的导数dq/dt）、时间t的一个确定的函数L(q, q·, t)来描述，L被称作给定系统的拉格朗日函数；也可以用广义坐标q、广义动量p（相应于q的）、时间t的一个确定的函数H来描述，H(p, q, t)被称作哈密顿函数。两组变量之间的变换可以通过勒让德变换得到。对于具有s个自由度的系统，其广义坐标、广义速度、广义动量的个数均为s，L与H则分别包含2s+1个变量。（各函数变量均省略了下标i，i = 1, 2, ... , s）

现假设该力学系统具有s = s1 + s2个自由度，其状态用s1个广义坐标ξ、广义速度ξ·，s2个广义坐标q、广义动量p，以及时间t的函数R来决定R(q, p, ξ, ξ·, t)即为罗斯函数。

定义

罗斯函数定义为：R=pq·-L。

罗斯函数推导

为了简化公式，首先假设仅有两个广义坐标，用q和ξ表示，现进行从q, ξ, q·,ξ·到q, ξ,p,ξ·的变换，其中p为相应于广义坐标q的广义动量。 

拉格朗日函数L(q,ξ,q·,ξ·)的微分为

dL = (∂L/∂q)dq +(∂L/∂q·)dq·+(∂L/∂ξ)dξ- (∂L/∂ξ·)dξ·=p·dq+q·dp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ·)dξ·

由此可得：d(L - pq·) = p·dq-q·dp+ (∂L/∂ξ)dξ + (∂L/∂ξ·)dξ·

如果定义罗斯函数为：R(q,p,ξ,ξ·) =pq·-L

式中的速度q借助方程用广义动量p表示，则罗斯函数的微分为

dR = - p·dq + q·dp -(∂L/∂ξ)dξ -(∂L/∂ξ·)dξ·