勒让德变换的最大值式定义

更详细地定义勒让德变换，为了求得  

关于  的最大值，设定  关于{\displaystyle x\,\!}的偏导数为零：。

则 。(1)

这表达式必为最大值。因为，凸函数  的二阶导数是负数：；

用方程 (1) 来计算函数  的反函数  。代入  方程，即可以得到想要的形式： 。

计算  的勒让德变换，所需的步骤为：

找出导函数  ，

计算导函数  的反函数  ，

代入  方程来求得新函数  。

这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数 ；其新自变数为  。

反函数式定义

另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数  与  的一阶导数是互相的反函数；

 ，或者， ，

则  与  互相为彼此的勒让德变换。

依照定义， ， 。

思考下述运算：

 。

所以， ；

这里，  。

这答案是标准答案；但并不是一个答案。设定 ，也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案）