勒让德变换

勒让德变换是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒壤得（Arien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。 它经常用于经典力学中，从拉格朗日形式导出哈密顿形式；以及在热力学中，推导出热力学势，并求解多个变量的微分方程。

概数

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系  改用一个新函数  来表示，其变数  是  的导数，  。而  的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距。换句话说，从  x 值到 y 值的函数，转换成  f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数。

这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的，因此称为勒让德变换。称函数  为  的勒让德变换；用方程表示 。

此式子表示  中的 u 对  而言是个参数，且参数 u 会满足的  。即求算表达式关于变数  的极值。

为方便讨论，把讨论限定在  为严格单调递增。会有这方程是因为在  也就是斜率不变的状况下，对每个 而言，所有与曲线  相交且斜率为  的直线族为  。若令 ，该直线即是  在  的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知，在  的情况下， 值是最小的，也就是说直线方程中  这部分是最大的，而正好 ，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数  

设定的函数关系可以用  点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化，则会变为勒壤得-芬伽转换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。