线性空间

向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

详细定义

向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是m×n矩阵。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年，他与柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

公理化定义

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V的两个运算：

向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V

标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V

符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；

2. 向量加法交换律：v + w = w + v；

3. 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；

4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；

5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；

6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；

7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；

8. 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

有些教科书还强调以下两个公理：

V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V

V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V

更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。 

首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。

以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：

    零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的

    a 0 = 0，∀ a ∈ F

    0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元

    a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0

    v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的

    (−1)v = −v，∀ v ∈ V

    (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V